Question

如圖所示，BC是⊙O直徑，AD⊥BC，垂足為D，

BA

=

AF

，BF與AD交于E，求證：AB²=2AD•AE．

Answer 1

考點：相交弦定理,垂徑定理,射影定理

專題：證明題

分析：連CF，AC，AF，過A作AM⊥BF于M，由在同圓中等弧對的圓周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE，證△AMB≌△BDA，推出AD=BM，求出BF=2AD，求出△ABE∽△FBA，推出AB²=BE×BF即可．

解答：證明：連CF，AC，AF，過A作AM⊥BF于M，
∵

BA

=

AF

，
∴AF=AB，∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∴BF=2BM，
∵BC為圓的直徑，∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE，
∵AM⊥BF，AD⊥BC，
∴∠AMB=∠ADB=90°，
在△AMB和△BDA中，

∠ABE=∠BAD ∠AMB=∠ADB AB=AB

，
∴△AMB≌△BDA（AAS），
∴AD=BM，
∴BF=2AD，
∵弧AF=弧AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∵∠ABF=∠BAD，
∴∠BAE=∠AFB，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△ABE∽△FBA，
∴

AB

BE

=

BF

AB

，
∴AB²=BE×BF，
∵BE=AE，BF=2AD，
∴AB²=2AD×AE．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，注意：在同圓中等弧對的圓周角相等，題目比較好，難度適中．