【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(﹣1,0),B(2,0),交y軸于C(0,﹣2),過A,C畫直線.

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點P在x軸正半軸上,且PA=PC,求OP的長;

(3)點M在二次函數(shù)圖象上,以M為圓心的圓與直線AC相切,切點為H.
①若M在y軸右側,且△CHM∽△AOC(點C與點A對應),求點M的坐標;
②若⊙M的半徑為 ,求點M的坐標.

【答案】
(1)

解:設該二次函數(shù)的解析式為:y=a(x+1)(x﹣2),

將x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),

解得a=1,

∴拋物線的解析式為y=(x+1)(x﹣2),

即y=x2﹣x﹣2


(2)

解:設OP=x,則PC=PA=x+1,

在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,

解得,x= ,

即OP=


(3)

解:①∵△CHM∽△AOC,

∴∠MCH=∠CAO,

(i)如圖1,當H在點C下方時,

∵∠OAC+∠OCA=90°,∠MCH=∠OAC

∴∠OCA+∠MCH=90°

∴∠OCM=90°=∠AOC

∴CM∥x軸

∴yM=﹣2,

∴x2﹣x﹣2=﹣2,

解得x1=0(舍去),x2=1,

∴M(1,﹣2),

(ii)如圖1,當H在點C上方時,

∵∠MCH=∠CAO,

∴PA=PC,由(2)得,M′為直線CP與拋物線的另一交點,

設直線CM′的解析式為y=kx﹣2,

把P( ,0)的坐標代入,得 k﹣2=0,

解得k=

∴y= x﹣2,

x﹣2=x2﹣x﹣2,

解得x1=0(舍去),x2= ,

此時y= × ﹣2=

∴M′( , ),

②在x軸上取一點D,如圖(備用圖),過點D作DE⊥AC于點E,使DE= ,

在Rt△AOC中,AC= = =

∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,

∴△AED∽△AOC,

,

= ,

解得AD=2,

∴D(1,0)或D(﹣3,0).

過點D作DM∥AC,交拋物線于M,如圖(備用圖)

則直線DM的解析式為:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6,

當﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時,即x2+x+4=0,方程無實數(shù)根,

當﹣2x+2=x2﹣x﹣2時,即x2+x﹣4=0,解得x1= ,x2= ,

∴點M的坐標為( ,3+ )或( ,3﹣


【解析】(1)根據(jù)與x軸的兩個交點A、B的坐標,設出二次函數(shù)交點式解析式y(tǒng)=a(x+1)(x﹣2),然后把點C的坐標代入計算求出a的值,即可得到二次函數(shù)解析式;(2)設OP=x,然后表示出PC、PA的長度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可;(3)①根據(jù)相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)點H在點C下方時,利用同位角相等,兩直線平行判定CM∥x軸,從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同,是﹣2,代入拋物線解析式計算即可;(ii)點H在點C上方時,根據(jù)(2)的結論,點M為直線PC與拋物線的另一交點,求出直線PC的解析式,與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標;②在x軸上取一點D,過點D作DE⊥AC于點E,可以證明△AED和△AOC相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度,然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度,從而得到點D的坐標,再作直線DM∥AC,然后求出直線DM的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標.

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