Question

已知：正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，且ED=FC，ED、FC交于點(diǎn)G，連接BG，BH平分∠GBC交FC于H，連接DH．
（1）求證：ED⊥FC；
（2）求證：△DGH是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)全等三角形判定方法得出Rt△AED≌Rt△FDC，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得出∠FGE=90°即可得出答案；
（2）利用已知得出B、C、G、E四點(diǎn)共圓，得出BG=BC，進(jìn)而得到BH是GC的中垂線，再利用△BHC≌△CGD，得出GH=DG即可得出答案．
解答：證明：（1）∵在正方形ABCD中，
∴AD=CD，
∵ED=FC，∠CDA=∠A=90°，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△FDC（HL），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC=180°，
∴∠AFC+∠AED=180°，
∴∠A+∠FGE=180°（四邊形內(nèi)角和定理），
∵∠A=90°，
∴∠FGE=90°，
即ED⊥FC；

（2）連接EC，
∵由（1）得∠FGE=90°，∠ABC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C、G、E四點(diǎn)共圓（如圖所示），
∴∠AED=∠BCG，
∴∠BGC=∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵，
∴RT△BCE≌RT△ADE（SAS），
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂線，
∴GH=HC，∠BHC=90°，
∵∠BCH+∠GCD=90°，∠GCD+∠GDC=90°，
∴∠BCH=∠CDG，
∵∠DGC=∠BHC=90°，CD=CB，
∴，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG=HC，
∵GH=HC，
∴GH=DG，
又∵∠FGE=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形．
點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出B、C、G、E四點(diǎn)共圓，以及BH是GC的中垂線是解題關(guān)鍵．