Question

【題目】如圖1，△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，直角邊AC，CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE，BD，PM，PN，MN．

（1）觀察猜想：

圖1中，PM與PN的數(shù)量關系是　 　，位置關系是　 　．

（2）探究證明：

將圖1中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖2，AE與MP、BD分別交于點G、H，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：

把△CDE繞點C任意旋轉，若AC=4，CD=2，請直接寫出△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN（2）見解析（3）

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN；

（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；

（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，推出當BD的值最大時，PM的值最大，△PMN的面積最大，推出當B、C、D共線時，BD的最大值=BC+CD=6，由此即可解決問題；

（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：

延長AE交BD于O，

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO，

∴∠CBD+∠BEO=90°，

∴∠BOE=90°，即AE⊥BD，

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PM=BD，PN=AE，

∴PM=PM，

∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，

∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，

∴∠MPA+∠NPC=90°，

∴∠MPN=90°，

即PM⊥PN，

故答案是：PM=PN，PM⊥PN；

（2）如圖②中，設AE交BC于O，

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，

又∵∠AOC=∠BOE，

∠CAE=∠CBD，

∴∠BHO=∠ACO=90°，

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM=BD，PM∥BD，

PN=AE，PN∥AE，

∴PM=PN，

∴∠MGE+∠BHA=180°，

∴∠MGE=90°，

∴∠MPN=90°，

∴PM⊥PN；

（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，

∴當BD的值最大時，PM的值最大，△PMN的面積最大，

∴當B、C、D共線時，BD的最大值=BC+CD=6，

∴PM=PN=3，

∴△PMN的面積的最大值=×3×3=．