解:
(1)如圖①,過P點作PD⊥BO,PH⊥AB,垂足分別為D、H,
∵BC為∠ABO的平分線,
∴PH=PD,
∴S
1:S
2=AB:OB,
又∵OA、OB的長是方程x
2-14x+48=0的兩根(OA>OB),
解方程得:x
1=8,x
2=6,
∴OA=8,OB=6,
∴AB=10,
∴S
1:S
2=AB:OB=5:3;
(2)過C點作CK⊥AB,垂足為K,
∴OC=CK,
∴S
△AOB=
OC(OB+AB)=8OC=24,
∴OC=3,
∴C(3,0),
∴y=-2x+6;
(3)①當(dāng)O、P、E三點共線時,(P在OE與BC交點時)有S
△AOP=S
△AEP,
過E點作EG⊥OA,垂足為G,
∵OE⊥BC,BC平分∠ABO,
∴P是OE的中點,
∴PF是△OEG的中位線,
∵△AGE∽△AOB,
∴
,
∴EG=
,y
P=
,
把y
P=
,代入y=-2x+6中,求得x
P=
,
∴P
1(
);
②當(dāng)PA∥OE時,有S
△AOP=S
△AEP,
∴P
2(4,-2).
或用代數(shù)方法:設(shè)E點坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)勾股定理求出
,
再將
代入y=-2x+6,同樣求出P
1(
)、P
2(4,-2).
分析:(1)如圖①,過P點作PD⊥BO,PH⊥AB,垂足分別為D、H,由BC為∠ABO的平分線,可得PH=PD,則可得S
1:S
2=AB:OB,又∵OA、OB的長是方程x
2-14x+48=0的兩根(OA>OB),解方程即可求得OA,OB的長,則可得S
1:S
2的值;
(2)過C點作CK⊥AB,垂足為K,可得OC=CK,由S
△AOB=
OC(OB+AB)=8OC=24,可求得點C的坐標(biāo),即即可得直線BC的解析式;
(3)分別從①當(dāng)O、P、E三點共線時,(P在OE與BC交點時)有S
△AOP=S
△AEP,②當(dāng)PA∥OE時,有S
△AOP=S
△AEP去分析,利用三角形的面積求解方法,即可求得P點坐標(biāo).
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)的知識,三角形面積的求解方法等知識.此題綜合性很強(qiáng),解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.