【題目】將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OC,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α(0°<α<120°)得到線段OD,連接CD.
(1)如圖,連接BD,則∠BDC的大小=_____(度);
(2)將線段OB放在平面直角坐標系中,O是坐標原點,點B的坐標為(﹣6,0),以OB為斜邊作Rt△OBE,使∠OBE=∠OCD,且點E在第三象限,若∠CED=90°,則α的大小=_____(度),點D的坐標為_____.
【答案】 30 90 (3,﹣3)
【解析】分析:(1)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB=OC=OD,再由圓周角定理即可得出結(jié)論;
(2)如圖2,過點O作OM⊥CD于點M,連接EM,先根據(jù)AAS定理得出△OEB≌△OMC,故可得出OE=OM,∠BOE=∠COM,所以△OEM是等邊三角形.根據(jù)OC=OD,OM⊥CD可知CM=DM.故可得出點O、C、D在以M為圓心,MC為半徑的圓上.由圓周角定理可得α的大小,再根據(jù)三角函數(shù)得出結(jié)論.
詳解:(1)∵線段OC,OD由OB旋轉(zhuǎn)而成,
∴OB=OC=OD.
∴點B、C、D在以O為圓心,AB為半徑的圓上.
∴∠BDC=∠BOC=30°.
(2)如圖2,過點O作OM⊥CD于點M,連接EM,過點D作BF⊥BO的延長線于點F.
∵∠OMD=90°,
∴∠OMC=90°.
在△OEB與△OMC中,
,
∴△OEB≌△OMC.
∴OE=OM,∠BOE=∠COM.
∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°.
∴△OEM是等邊三角形.
∴EM=OM=OE.
∵OC=OD,OM⊥CD,
∴CM=DM.
又∵∠DEC=90°,
∴EM=CM=DM.
∴OM=CM=DM.
∴點O、C、D、E在以M為圓心,MC為半徑的圓上.
∴α=∠COD=90°,
∴∠FOD=30°,
∴OF=3,DF=3,
∴點D的坐標為(3,-3).
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E,過點D作⊙O的切線DF,交AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖1,將正方形ABCD置于平面直角坐標系中,其中AD邊在x軸上,其余各邊均與坐標軸平行,直線l:y=x﹣3沿x軸的負方向以每秒1個單位的速度平移,在平移的過程中,該直線被正方形ABCD的邊所截得的線段長為m,平移的時間為t(秒),m與t的函數(shù)圖象如圖2所示,則圖2中b的值為( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
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【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB于點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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【題目】如圖,長方形中,長,寬,四邊形和四邊形都是正方形.
(1)求四邊形的面積(用含、的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)、滿足什么等量關(guān)系時,圖形是一個軸對稱圖形.
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【題目】武漢某文化旅游公司為了在軍運會期間更好地宣傳武漢,在工廠定制了一批具有濃郁的武漢特色的商品.為了了解市場情況,該公司向市場投放,型商品共件進行試銷,型商品成本價元/件,商品成本價元/件,其中型商品的件數(shù)不大于型的件數(shù),且不小于件,已知型商品的售價為元/件,型商品的售價為元/件,且全部售出.設(shè)投放型商品件,該公司銷售這批商品的利潤元.
(1)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式:_______;
(2)為了使這批商品的利潤最大,該公司應(yīng)該向市場投放多少件型商品?最大利潤是多少?
(3)該公司決定在試銷活動中每售出一件型商品,就從一件型商品的利潤中捐獻慈善資金元,當(dāng)該公司售完這件商品并捐獻資金后獲得的最大收益為元時,求的值.
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【題目】已知等邊△ABC的邊長為,D是AB上的動點,過D作DE⊥AC于點E,過E作EF⊥BC于點F,過F作FG⊥AB于點G.當(dāng)G與D重合時,AD的長是( 。
A. B. C. D.
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【題目】在中,垂直平分,分別交、于點、,垂直平分,分別交,于點、.
⑴如圖①,若,求的度數(shù);
⑵如圖②,若,求的度數(shù);
⑶若,直接寫出用表示大小的代數(shù)式.
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【題目】如圖,直線y=-x+m與y=nx+4n(n≠0)的交點的橫坐標為-2.則下列結(jié)論:①m<0,n>0;②直線y=nx+4n一定經(jīng)過點(-4,0);③m與n滿足m=2n-2;④當(dāng)x>-2時,nx+4n>-x+m,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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