【題目】問題情境:如圖①,P是⊙O外的一點(diǎn),直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B,可以發(fā)現(xiàn)PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離.
(1)直接運(yùn)用:如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,則AP的最小值是 .
(2)構(gòu)造運(yùn)用:如圖③,在邊長為8的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,請(qǐng)求出A′C長度的最小值.
(3)綜合運(yùn)用:如圖④,平面直角坐標(biāo)系中,分別以點(diǎn)A(﹣2,3),B(3,4)為圓心,分別以1、2為半徑作⊙A、⊙B,M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值等于 .
【答案】(1)﹣1;(2)4﹣4;(3)﹣3
【解析】
(1)先確定出AP最小時(shí)點(diǎn)P的位置,如圖1中的P'的位置,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出A'M=AM=MD,再構(gòu)造出直角三角形,利用銳角三角函數(shù)求出DH,MH,進(jìn)而用用勾股定理求出CM,即可得出結(jié)論;
(3)利用對(duì)稱性確定出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',即可求出結(jié)論.
(1)如圖1,取BC的中點(diǎn)E,
連接AE,交半圓于P',在半圓上取一點(diǎn)P,連接AP,EP,
在△AEP中,AP+EP>AE,
即:AP'是AP的最小值,
∵AE=,P'E=1,
∴AP'=﹣1;
故答案為:﹣1;
(2)如圖2,由折疊知,A'M=AM,
∵M是AD的中點(diǎn),
∴A'M=AM=MD,
∴以點(diǎn)A'在以AD為直徑的圓上,
∴當(dāng)點(diǎn)A'在CM上時(shí),A'C的長度取得最小值,
過點(diǎn)M作MH⊥CD于H,
在Rt△MDH中,DH=DMcos∠HDM=2,MH=DMsin∠HDM=2,
在Rt△CHM中,CM==4,
∴A'C=CM﹣A'M=4﹣4;
(3)如圖3,作⊙B關(guān)于x軸的對(duì)稱圓⊙B',連接AB'交x軸于P,
∵B(3,4),
∴B'(3,﹣4),
∵A(﹣2,3),
∴AB'==
∴PM+PN的最小值=AB'﹣AM﹣B'N'=AB'﹣AM﹣BN=﹣3.
故答案為:﹣3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人要某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時(shí)段開往該景區(qū)有三輛汽車(票價(jià)相同),但是他們不清楚這三輛車的舒適程度,也不知道汽車開來的順序,兩人采用了不同的乘車方案:
甲無論如何總是上開來的第一輛車,而乙則是先觀察后上車,當(dāng)?shù)谝惠v車開來時(shí),他不上車,而是仔細(xì)觀察車輛的舒適狀況,如果第二輛車狀況比第一輛好,他就上第二輛車,如果第二輛不比第一輛好,他就上第三輛車.這三輛車的舒適程度為上、中、下三等,請(qǐng)解決下面的問題:
(1)請(qǐng)用畫樹形圖或列表的方法分析這三輛車出現(xiàn)的先后順序,寫出所有可能的結(jié)果;(用上中下表示)
(2)分析甲、乙兩人采用的方案,誰的方案使自己坐上上等車的可能性大,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的周長為19,點(diǎn)D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為( )
A. B. 2 C. D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=﹣bx,其中a、b、c,滿足a>b>c,a+b+c=0.
(1)求證:這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn);
(2)設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn),作AA1⊥x軸于A1,BB1⊥x軸于B1,求線段A1B1的長的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD為直徑作⊙O.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′與⊙O相切,切點(diǎn)為E,邊CD′與⊙O相交于點(diǎn)F,則CF的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在△ABC和△EFC中,∠ABC=∠EFC=90°,點(diǎn)E在△ABC內(nèi),且∠CAE+∠CBE=90°
(1)如圖1,當(dāng)△ABC和△EFC均為等腰直角三角形時(shí),連接BF,
①求證:△CAE∽△CBF;
②若BE=2,AE=4,求EF的長;
(2)如圖2,當(dāng)△ABC和△EFC均為一般直角三角形時(shí),若=k,BE=1,AE=3,CE=4,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4cm,AD=8cm,按如圖方式折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,折痕為EF,則tan∠BEF=( 。
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角,得到矩形A'B'C'D',B'C與AD交于點(diǎn)E,AD的延長線與A'D'交于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)α=60°時(shí),連接DD',求DD'和A'F的長;
(2)如圖②,當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點(diǎn)A'落在CD的延長線上時(shí),求EF的長;
(3)如圖③,當(dāng)AE=EF時(shí),連接AC,CF,求ACCF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣1,2)、B(2,1)、C(4,5).
(1)以原點(diǎn)O為位似中心,在x軸的上方畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC位似,且相似比為2;
(2)△A1B1C1的面積是 平方單位.
(3)點(diǎn)P(a,b)為△ABC內(nèi)一點(diǎn),則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為 .
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