【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若點E是AB的中點,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.
【答案】證明:
(1)∵AB∥CD,即AE∥CD,
又∵CE∥AD,∴四邊形AECD是平行四邊形. 2分
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE,
∴四邊形AECD是菱形;········· 4分
(2)證法一:∵E是AB中點,∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
證法二:連DE,則DE⊥AC,且平分AC,
設(shè)DE交AC于F,∵E是AB的中點,∴EF∥BC.
∴BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.······· 8分
【解析】
試題(1)先根據(jù)平行四邊形的定義證得四邊形AECD是平行四邊形,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACE=∠CAD,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得AE=CE,從而證得結(jié)論;(2)由AE=CE,AE=BE可得BE=CE,即可得到∠B=∠BCE,由∠B+∠BCA+∠BAC=180可得2∠BCE+2∠ACE=180,即可得到結(jié)果.
(1)∵AB∥CD, CE∥AD,
∴四邊形AECD是平行四邊形.
∵CE∥AD,
∴∠ACE=∠CAD.
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAE=∠CAD.
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE.
∴四邊形AECD是菱形;
(2)∵AE=CE,AE=BE,
∴BE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180,
∴2∠BCE+2∠ACE=180,
∴∠BCE+∠ACE=90,即∠ACB=90.
∴△ABC是直角三角形.
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【題目】如圖1,在△OAB中,∠OAB=90,∠AOB=30,OB=8.以OB為一邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.
【1】求點B的坐標
【2】求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
【3】如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.
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【題目】如圖,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,點P到點A,B和C的距離分別為,1,2,△ABP繞點B旋轉(zhuǎn)至△CBP′,連結(jié)PP′,并延長BP與DC相交于點Q,則∠CPQ的大小為______ (度)
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【題目】如圖,已知直線,直線交于點,交于點,是線段上的一個動點,
(1)若點在線段(、兩點除外)上運動,問,,之間的關(guān)系是什么?這種關(guān)系是否變化?
(2)若點在線段之外時,,,之間的關(guān)系怎樣?說明理由
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【題目】如圖,已知直線.這兩直線之間一點.
(1)如圖1,若與的平分線相交于點,若,求的度數(shù).
(2)如圖2,若與的平分線相交于點,與有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,若的平分線與的平分線所在的直線相交于點,請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】已知在平面直角坐標系中有三點、、,請回答如下問題:
(1)在坐標系內(nèi)描出點的位置:
(2)求出以三點為頂點的三角形的面積;
(3)在軸上是否存在點,使以三點為頂點的三角形的面積為10,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】王大伯幾年前承包了甲、乙兩片荒山,各栽100棵楊梅樹,成活98%.現(xiàn)已掛果,經(jīng)濟效益初步顯現(xiàn),為了分析收成情況,他分別從兩山上隨意各采摘了4棵樹上的楊梅,每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計圖所示.
(1)分別計算甲、乙兩山樣本的平均數(shù),并估算出甲、乙兩山楊梅的產(chǎn)量總和;
(2)試通過計算說明,哪個山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A、B兩點,以AB為邊,在直線AB的左側(cè)作菱形ABCD,邊BC⊥y軸于點E,若點A坐標為(m,6),tan∠BOE= ,OE= .
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求點D的坐標.
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【題目】某農(nóng)業(yè)觀光園將一塊面積為的觀光園分成三個區(qū)域,分別種植甲、乙、丙三種花卉,且每平方米栽種甲株或乙株或丙株.已知區(qū)域的面積是的倍,記A區(qū)域的面積為區(qū)域的面積為.
花卉 項目 | 甲 | 乙 | 丙 |
面積 | |||
株/ | |||
數(shù)量 |
(1)完成上表(結(jié)果用含的代數(shù)式表示).
(2)若三種花卉共栽種株
①求與的值.
②若三種花卉的單價(都是整數(shù))之和為元,全部栽種共需元,求種植面積最大的花卉總價.
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