Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)），線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．

（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是 ；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn) 的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；

（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；

（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可；

（2）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，分別求出OE、OF的長，由得到的最小值；

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長度為1的弦即可．平移距離的最大值即點(diǎn)A，B點(diǎn)的位置，由此得出的取值范圍．

解：（1）平行；P3；

（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點(diǎn)為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．

由垂徑定理得：，

∴；

（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長度為1的弦即可；

點(diǎn)A到O的距離為．

如圖，平移距離的最小值即點(diǎn)A到⊙O的最小值：；

平移距離的最大值線段是下圖AB的情況，即當(dāng)A1,A2關(guān)于OA對稱，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1時(shí).∠B2A2A1=60°，則∠OA2A1=30°,

∵OA2=1,∴OM=, A2M=,

∴MA=3,AA2= ,

∴的取值范圍為：．