Question

已知，如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為y=-x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點M的坐標；
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒個單位長度的速度向點O移動，同時，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動．設P、Q移動的時間為t秒．
①是否存在這樣的時刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
②設△BPQ的面積為S，求S與t間的函數關系式，并求出t為何值時，S有最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線AB的解析式已知，所以可求得A、B、C的坐標，若△AMB是等腰三角形，則可能MA=MB或MA=AB或MB=AB，分別分析求解即可；
（2）①假設相似，根據相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例，求解即可；
②因為S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP求解即可．
解答：解：（1）易知A（0，1），C（，0），B（，1）．
①AB為腰且MA=AB時，
由題意可知，AM₂=AB=，
∴OM₂=．
∴M₂（，0），由對稱性知M₄（-，0），
②AB為腰且MB=AB時，
由題意得OM₄=OC-CM₄=，
∴M₁（，0），
由對稱性可知M₃（，0），
③AB為底邊，則M₅（，0）；

（2）①假設存在這樣的時刻t，使△OPQ與△BCP相似．
∵CP=t，OQ=t，OP=-，
由或得：
或，
即t²+t-1=0或3t=2，
解得t=或t=．
又∵0≤t≤1，
∴當t=或t=時，△OPQ與△BCP相似．（7分）
②S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP
=（1-t）-t（）-
=
=（t-）²+
當t=時，面積S有最小值，最小值是．（10分）
點評：此題考查了平面坐標系與四邊形，相似三角形的綜合知識，解題時要注意數形結合思想的應用．