Question

1．平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a$+\frac{k}$，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱(chēng)點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”． 
（1）求點(diǎn)P（-2，3）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)；
（2）若a、b為正整數(shù)，點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)為（3，6），求出k及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4$\sqrt{3}$），點(diǎn)A在函數(shù)y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“-$\sqrt{3}$關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段BQ最短時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中的新定義求出點(diǎn)P（-2，3）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)題中的新定義求出a與b的關(guān)系式即可；
（3）根據(jù)題意得出A（a-$\frac{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），代入y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0），求得b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$，從而求得B在直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上，過(guò)Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂線QB₁，垂足為B₁，Q（0，4$\sqrt{3}$），且線段BQ最短，B₁即為所求的B點(diǎn)，由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，由ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理求得MN=4．由MQ=2$\sqrt{3}$，求得B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3，在Rt△MB₁Q中，根據(jù)面積公式得到B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，即可求得B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵x=-2+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，y=2×（-2）+3=-1，
∴P′（-$\frac{1}{2}$，-1）；

（2）設(shè)P（a，b），則P′（a+$\frac{k}$，ka+b）
∴$\left\{\begin{array}{l}a+\frac{k}=3\\ ka+b=6\end{array}\right.$，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b為正整數(shù)
∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“-$\sqrt{3}$關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是A，
∴A（a-$\frac{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），
∵點(diǎn)A還在反比例函數(shù)y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴（-$\sqrt{3}$a+b）（a-$\frac{\sqrt{3}}$）=-4$\sqrt{3}$，
∴（b-$\sqrt{3}$a）²=12，
∵b-$\sqrt{3}$a＞0，
∴b-$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$；
∴B在直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上．
過(guò)Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂線QB₁，垂足為B₁，
∵Q（0，4$\sqrt{3}$），且線段BQ最短，
∴B₁即為所求的B點(diǎn)，
由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，
∵ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，
∴MN=4．
又∵M(jìn)Q=2$\sqrt{3}$，
∴B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3
在Rt△MB₁Q中，B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，
∴h_B1=$\frac{3}{2}$，
∴x_B1=$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．