Question

如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M、N分別是射線OA、OB上一點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠OPM=50°，則∠AOB=（　�。�

• A、40°
• B、45°
• C、50°
• D、55°

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P₁，P₂．連接OP₁，OP₂．則當(dāng)M，N是P₁P₂與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：∠OP₁M=∠OPM=50°，OP₁=OP₂=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P₁，P₂．連接OP₁，OP₂．則當(dāng)M，N是P₁P₂與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，連接P₁O、P₂O，
∵PP₁關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠P₁OP=2∠MOP，OP₁=OP，P₁M=PM，∠OP₁M=∠OPM=50°
同理，∠P₂OP=2∠NOP，OP=OP₂，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP₁=OP₂=OP，
∴△P₁OP₂是等腰三角形．
∴∠OP₂N=∠OP₁M=50°，
∴∠P₁OP₂=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，證得△P₁OP₂是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．