如圖1,平面直角坐標(biāo)系中有一矩形紙片OABC,O為原點(diǎn),點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
3
,1),在BC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D,將△OCD沿OD翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,得到△OED.
(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B構(gòu)成等腰三角形,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)E在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上(如圖2),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)當(dāng)線段OD與直線EA垂直時(shí)(如圖3),求△CDE的外接圓的半徑.
分析:(1)分①AB=BE時(shí),根據(jù)勾股定理求出OB=2,從而判斷出O、E、B三點(diǎn)共線,從而確定點(diǎn)E為矩形OABC的中心,然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)寫(xiě)出即可;
②AE=BE,然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以判定點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為
1
2
,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=OC=1,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F,根據(jù)勾股定理求出OF的長(zhǎng)度,即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);
③AE=AB時(shí),可以得到AE=OE,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)E在OA的垂直平分線上,然后利用勾股定理求出點(diǎn)E到OA的距離EF的長(zhǎng)度,即可得解;
(2)過(guò)點(diǎn)E作OC的平行線交BE于F,交OA于G,可得EF⊥BC,EG⊥OA,然后根據(jù)直線解析式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),利用勾股定理列式求解得到點(diǎn)E的坐標(biāo),然后證明△OGE和△EFD相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DF的長(zhǎng)度,然后求出CD的長(zhǎng)度,即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接CE,根據(jù)翻折的對(duì)稱(chēng)性可得CE⊥OD,再根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直可得A、E、C三點(diǎn)共線,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠OAE=∠COD,再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度,然后利用∠OAE與∠COD的余弦值相等列式求解即可得到OD的長(zhǎng)度,再證明△CDE的外接圓是以O(shè)D為直徑的圓,從而得解.
解答:解:(1)∵B(
3
,1),
∴AB=OC=1,
OB=
12+(
3
)
2
=2,
根據(jù)翻折的性質(zhì),OE=OC=1,
①AB=BE時(shí),則OE+BE=OB=2,
所以,點(diǎn)O、E、B三點(diǎn)共線,且點(diǎn)E是OB的中點(diǎn),
∵O(0,0),B(
3
,1),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
3
2
,
1
2
),
②AE=BE時(shí),根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)E在AB的垂直平分線上,
所以,點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為
1
2

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F,則OF=
OE2-EF2
=
12-(
1
2
)
2
=
3
2
,
所以,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
3
2
,
1
2
),
③AE=AB時(shí),∵OE=AE=1,
∴點(diǎn)E在OA的垂直平分線上,
∴OF=
1
2
OA=
3
2
,
∴EF=
OE2-EF2
=
12-(
3
2
)
2
=
1
2
,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
3
2
,
1
2
),
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
3
2
,
1
2
);

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作OC的平行線交BE于F,交OA于G,可得EF⊥BC,EG⊥OA,
∵點(diǎn)E在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上,
∴設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(a,2a-1),
在Rt△OEG中,OE2=EG2+OG2,
即12=(2a-1)2+a2,
整理得,5a2-4a=0,
解得a1=0(舍去),a2=
4
5

∴OG=
4
5
,EG=2×
4
5
-1=
3
5

∴EF=FG-EG=1-
3
5
=
2
5
,
根據(jù)翻折,∠DEO=∠OCD=90°,
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°,
∵∠EOG+∠OEG=90°,
∴∠EOG=∠DEF,
又∵∠EDF=∠OGE=90°,
∴△OGE∽△EFD,
EG
DF
=
OG
EF
,
3
5
DF
=
4
5
2
5
,
解得DF=
3
10

∴CD=CF-DF=OG-DF=
4
5
-
3
10
=
1
2
,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
1
2
,1);

(3)如圖3,連接CE,根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性,CE⊥OD,
∵AE⊥OD,
∴A、E、C三點(diǎn)共線,
∵∠OAE+∠OCE=90°,∠COD+∠OCE=90°,
∴∠OAE=∠COD,
矩形OABC的對(duì)角線AC=OB=2,
∵cos∠OAE=
OA
AC
=
3
2

cos∠COD=
OC
OD
=
1
OD
,
1
OD
=
3
2
,
解得OD=
2
3
3
,
∵OD是Rt△OCD與Rt△ODE的斜邊,
∴點(diǎn)O、C、D、E四點(diǎn)共圓,且OD是外接圓的直徑,
∴△CDE的外接圓的半徑為:
1
2
OD=
1
2
×
2
3
3
=
3
3
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查,主要利用了翻折變換的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,以及相似三角形的判定與性質(zhì),(1)要根據(jù)等腰三角形的腰進(jìn)行討論,(2)先根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,(3)判斷出點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、A,與精英家教網(wǎng)反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,tan∠ABO=
12
,OB=4,OE=2.
(1)求該反比例函數(shù),直線AB的解析式.
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo),及△CED的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4,與x軸交于0、M兩點(diǎn),O精英家教網(wǎng)M=4,矩形ABCD的邊BC在線段OM上,點(diǎn)A、D在拋物線上.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo),并求這條拋物線的解析式;
(2)當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)為最大值時(shí),將矩形繞它的中心順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接OP,請(qǐng)判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q(除點(diǎn)M外)使△OPQ是等腰三角形?若存在,寫(xiě)出點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離;若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫(xiě)出結(jié)果).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),則AC長(zhǎng)為
10
10

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點(diǎn)A(2,2),試在x軸上找點(diǎn)P,使△AOP是等腰三角形,那么這樣的三角形有( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案