【題目】1)某學(xué)校智慧方園數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目:

如圖(1),在中,點(diǎn)在線段上,,,,,求的長.經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn):過點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),通過構(gòu)造就可以解決問題,如圖(2).請(qǐng)回答:______

2)求的長.

3)請(qǐng)參考以上解決思路,解決問題:如圖(3),在四邊形中,對(duì)角線相交于點(diǎn),,,,求的長.

【答案】175°;(2;(3

【解析】

1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=OAC=75°;

2)結(jié)合∠BOD=COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值,進(jìn)而可得出AD的值,由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=ADB,由等角對(duì)等邊可得出AB的長;

3)過點(diǎn)BBEADAC于點(diǎn)E,同(1)可得出AE的長.在RtAEB中,利用勾股定理可求出BE的長度,再在RtCAD中,利用勾股定理可求出DC的長,此題得解.

1)∵BDAC,

∴∠ADB=OAC=75°.

2)∵∠BOD=COA,∠ADB=OAC,

∴△BOD∽△COA

又∵AO,

ODAO

AD=AO+OD=

∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,

∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=ADB,

AB=AD=

3)過點(diǎn)BBEADAC于點(diǎn)E,如圖所示.

ACAD,BEAD,

∴∠DAC=BEA=90°.

∵∠AOD=EOB,

∴△AOD∽△EOB,

BOOD=13,

AO=

EO,

AE=

∵∠ABC=ACB=75°,

∴∠BAC=30°,AB=AC,

AB=2BE

RtAEB中,BE2+AE2=AB2,即()2+BE2=(2BE)2,

解得:BE=,

AB=AC=,AD=4

RtCAD中,AC2+AD2=CD2,即,

解得:CD=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】蜜蜂是自然界神奇的“建筑師”,它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窩”,觀察下列的“蜂窩圖”.

1)若““中每條邊看成1個(gè)建筑單位,則第1個(gè)圖形中共有19個(gè)建筑單位,第2個(gè)圖案中共有   個(gè)建筑單位:第3個(gè)圖案中共有   個(gè)建筑單位;第n個(gè)圖案中共有   個(gè)建筑單位.(用含有n的代數(shù)式表示)

2)若現(xiàn)在有74個(gè)建筑單位材料,能建成符合上述規(guī)律的“蜂窩”嗎?若能求出它符合第幾圖形,若不能請(qǐng)說明理由.

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【題目】我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù),如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù):3、45;三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;事實(shí)上,勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).

(1)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式:a2n+1,b2n2+2nc2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù),請(qǐng)證明滿足以上公式的ab、c的數(shù)是一組勾股數(shù).

(2)然而,世界上第一次給出的勾股數(shù)公式,收集在我國古代的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,書中提到:當(dāng)a(m2n2),bmnc(m2+n2)(m、n為正整數(shù),mn時(shí),a、bc構(gòu)成一組勾股數(shù);利用上述結(jié)論,解決如下問題:已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù),其中一邊長為37,且n5,求該直角三角形另兩邊的長.

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【題目】動(dòng)點(diǎn)Am+2,3m+4)在直線l上,點(diǎn)Bb,0)在x軸上,如果以B為圓心,半徑為1的圓與直線l有交點(diǎn),則b的取值范圍是_____

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【題目】如圖,正方形的邊長是3,,連接交于點(diǎn),并分別與邊、交于點(diǎn),連接,下列結(jié)論:①;②;③;④當(dāng)時(shí),.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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【題目】發(fā)現(xiàn)任意三個(gè)連續(xù)的整數(shù)中,最大數(shù)與最小數(shù)這兩個(gè)數(shù)的平方差是4的倍數(shù);

驗(yàn)證:(1 的結(jié)果是4的幾倍?

2)設(shè)三個(gè)連續(xù)的整數(shù)中間的一個(gè)為n,計(jì)算最大數(shù)與最小數(shù)這兩個(gè)數(shù)的平方差,并說明它是4的倍數(shù);

延伸:說明任意三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)中,最大的數(shù)與最小的數(shù)這兩個(gè)數(shù)的平方差是8的倍數(shù).

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【題目】如圖,四邊形中,,,將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,連接

1)求證:;

2)求證:

3)若,點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足,求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

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【題目】如圖1,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C,∠F=30°.

(1)求證:BE=CE

(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.(如圖2)

①求證:△BEM≌△CEN;

②若AB=2,求△BMN面積的最大值;

③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí),點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sin∠EBG的值.

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(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo);

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(3)在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得APC與ABC全等?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由

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