Question

操作：如圖①，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，請(qǐng)利用圖①畫出一對(duì)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的全等三角形．
根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng)：
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．試探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
探究二：如圖③，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）如圖

（2）結(jié)論：AB=AF+CF．
證明：分別延長(zhǎng)AE、DF交于點(diǎn)M．
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE與△MCE中，
∵

∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵M(jìn)C=MF+CF，
∴AB=AF+CF；

（3）分別延長(zhǎng)DE、CF交于點(diǎn)G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴

AB

GC

=

BE

EC

，
又∵

BE

EC

=

1

2

，
∴

AB

GC

=

1

2

，
∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．