Question

7．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形OADB的邊OA、OB分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，OF⊥BC于E，交AD于F．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先證明△AOF≌△BOC，得到AF=CO=2，即可解決問題．
（2）求出直線OF、BC的函數(shù)解析式，然后解方程組即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=BO=DB=AD=4，∠DAO=∠AOB=∠OBD=∠D=90°，
∵CF⊥BC，
∴∠EBO+∠EOB=90°，∠EOB+∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠OBC，
在△AOF和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠COB}\\{AO=BO}\\{∠AOF=∠CBO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOC，
∴AF=CO=AC=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（-4，2）．
（2）設(shè)直線OF為y=kx，把點(diǎn)F（-4，2）代入得到2=-4k，k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線OF為y=-$\frac{1}{2}$x，
設(shè)直線BC為y=k′x+b，把B（0，4），C（-2，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k′+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC為y=2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是求出直線的解析式，通過(guò)解方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．