Question

拋物線的對(duì)稱軸x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是（-1，0），（0，1.5）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)P是此拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP面積的最大值；
（3）在（2）中當(dāng)△ABP的面積取最大值時(shí)，此拋物線位于x軸下方是否存在一點(diǎn)Q，使△ABQ與△ABP的面積相等？如果有，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），設(shè)點(diǎn)P（m，n），則n=-

1

2

m²+m+

3

2

，從而得到S_△ABP與m的函數(shù)關(guān)系式，然后只需運(yùn)用配方法即可求出S_△ABP的最大值；
（3）根據(jù)△ABQ與△ABP的面積相等可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式就可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）、B關(guān)于對(duì)稱軸x=1，
∴點(diǎn)B（3，0），
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式可設(shè)為y=a（x+1）（x-3），
∵點(diǎn)C（0，1.5）在拋物線y=a（x+1）（x-3）上，
∴-3a=1.5，
解得：a=-

1

2

，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

（x+1）（x-3）=-

1

2

x²+x+

3

2

；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n），則n=-

1

2

m²+m+

3

2

．
∵點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴S_△ABP=

1

2

（3+1）（-

1

2

m²+m+

3

2

）
=-m²+2m+3
=-（m-1）²+4
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△ABP取到最大值為4，
∴△ABP面積的最大值為4；

（3）∵點(diǎn)Q是拋物線位于x軸下方一點(diǎn)，
∴S_△ABQ=

1

2

（3+1）×（-y_Q）=-2y_Q．
∵S_△ABQ=S_△ABP=4，
∴-2y_Q=4，
∴y_Q=-2，
∴-

1

2

x_Q²+x_Q+

3

2

=-2，
整理得：x_Q²-2x_Q-7=0，
解得：x_Q=1+2

2

或x_Q=1-2

2

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+2

2

，-2）或（1-2

2

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識(shí)，運(yùn)用配方法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．