【題目】定義:如圖1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,當(dāng)∠BAC+∠DAE=180°時,我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”,△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”,△ADE的邊DE上的高線AN叫做△ABC的“頂心距”,點A叫做“頂補中心”.
特例感知
(1)圖2,圖3中,△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”,AM,AN是“頂心距”,
①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°時,AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=_________DE,
②如圖3,當(dāng)∠BAC=120°,BC=6時,AN的長為_________,
猜想論證
(2)在圖1中,當(dāng)∠BAC為任意角時,猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
拓展應(yīng)用
(3)如圖4,在四邊形ABCD中,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,CD=2,在四邊形|ABCD的內(nèi)部是否存在點P,使 得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”?若存在,請給予證明,并求△PBC的“頂心距”的長;若不存在, 請說明理由.
【答案】(1)①;②3; (2) AM=DE,證明見解析; (3)存在,證明見解析, PM =1.
【解析】分析:(1)①證△BAC≌△DAE,得BC=DE,由等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半得結(jié)論;②在△ABM中,用勾股定理求AB,根據(jù)△ADE是等邊三角形求解;(2)用AAS證明△BAM≌△AND,得AM=ND,而DE=2ND;(3)連接AC,證明△ADC≌△ABC,得PA=PB=PC=PD,證明∠APD+∠BPC=180°,得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”,結(jié)合(2)的結(jié)論求△PBC的“頂心距”的長.
詳解:(1)①∵∠BAC=90,
又∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠BAC=∠DAE=90°.
又∵AB=AC=AD=AE,
∴△BAC≌△DAE,∴BC=DE.
Rt△ABC中,AM是BC邊上的高,
∴AM=BC,AM=DE.
故答案為.
②∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=30.
Rt△ABM中,AB=6,由勾股定理得,AM=3,BM=,
∴AD=2.
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠DAE=60°,
又∵DA=EA,∴△ADE是等邊三角形,
∴∠AND=90°,∠DAN=30°,∴DN=,AN=3.
故答案為3.
(2)猜想:AM=DE.
證明:∵AB=AC=AD=AE,AM,AN為高線,
∴∠DAN=∠DAE,∠BAM=∠BAC.
∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠DAN+∠BAM=90°.
∵∠DAN+∠NDA=90°,∴∠BAM=∠NDA.
∵∠AMB=∠AND=90°,AB=AD,∴△BAM≌△AND,
∴DN=DE,∴AM=DE.
(3)存在,
如圖,連接AC,取AC的中點P,連接PB,PD.
∵AD=AB,CD=BC,AC=AC,
∴△ADC≌△ABC,∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵P是AC的中點,
∴PB=PA=PC=AC,PD=PA=PC=AC.
∴PA=PB=PC=PD,
又∵DC=BC,PC=PD,
∴△PDC≌△PBC,∴∠DPC=∠BPC.
∵∠APD+∠DPC=180°,∠APD+∠BPC=180°,
∴△APD與△BPC互為“頂補等腰三角形”,
過點P作PM⊥AD,則PM為△PBC的“頂心距”PA=PD,
∴AM=DM,AP=PC,
∴PM是△ACD的中位線,
PM=BC=BC=1.
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【題目】如圖,圓桌周圍有20個箱子,按順時針方向編號1~20,小明先在1號箱子中丟入一顆紅球,然后沿著圓桌按順時針方向行走,每經(jīng)過一個箱子丟一顆球,規(guī)則如下
①若前一個箱子丟紅球,則下一個箱子就丟綠球.
②若前一個箱子丟綠球,則下一個箱子就丟白球.
③若前一個箱子丟白球,則下一個箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2020圈,求4號箱內(nèi)有_____顆紅球.
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【題目】王老師計劃組織朋友去晉西北游覽兩日,經(jīng)了解,現(xiàn)有甲、乙兩家旅行社比較合適,報價均為每人元,且提供的服務(wù)完全相同.針對組團兩日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收費;乙旅行社表示,若人數(shù)不超過人,每人都按九折收費,若超過人,則其中人按九折收費,超出人數(shù)每人按七五折收費.假設(shè)組團參加兩日游的人數(shù)為人.
(1)請分別列式表示甲、乙兩家旅行社收取組團兩日游的總費用;
(2)若王老師組團參加兩日游的人數(shù)共有人,請你通過計算,在甲、乙兩家旅行社中,幫助王老師選擇收取總費用較少的一家.
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【題目】已知一個有50個奇數(shù)排成的數(shù)陣,用如圖所示的框去框住四個數(shù),并求出這四個數(shù)的和,在下列給出的備選答案中,有可能是這四個數(shù)的和的是( )
A. 114 B. 122 C. 220 D. 84
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【題目】已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點.
(1)直線BF垂直于直線CE于點F,交CD于點G(如圖1),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點H,交CD的延長線于點M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知頂點的坐標(biāo)分別為,且是由旋轉(zhuǎn)得到.若點在上,點在軸上,要使四邊形為平行四邊形,則滿足條件的點的坐標(biāo)為______.
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【題目】九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表:
時間x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售價(元/件) | x+40 | 90 |
每天銷量(件) | 200-2x |
已知該商品的進價為每件30元,設(shè)銷售該商品每天的利潤為y元。
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結(jié)果。
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,點E在⊙O上,∠EAB的平分線交⊙O于點C,過點C作AE的垂線,垂足為D,直線DC與AB的延長線交于點P.
(1)判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若tan∠P=,AD=6,求線段AE的長.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,CD⊥BC于點C,交∠ABC的平分線于點D,AE平分∠BAC交BD于點E,過點E作EF∥BC交AC于點F,連接DF.
(1)補全圖1;
(2)如圖1,當(dāng)∠BAC=90°時,
①求證:BE=DE;
②寫出判斷DF與AB的位置關(guān)系的思路(不用寫出證明過程);
(3)如圖2,當(dāng)∠BAC=α時,直接寫出α,DF,AE的關(guān)系.
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