Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=10cm，BC=15cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)P，Q分另從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求線段PQ的長度；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC的面積等于16cm²？
（3）點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的長度，然后利用勾股定理即可求出PQ的長度；
（2）首先用t分別表示CP，CQ的長度，然后利用三角形的面積公式即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可解決問題；
（3）能夠使得PQ⊥OC，利用直角三角形的斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)可以證明△ABC和△PCQ相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)t=4時(shí)，
∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，
∴AP=4cm，PC=AC-AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ=

PC2+CQ2

=10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC-AP=10-t、CQ=2t，
∴S_△PQC=

1

2

PC×CQ=t（10-t）=16，
∴t₁=2，t₂=8，
當(dāng)t=8時(shí)，CQ=2t=16＞15，∴舍去，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△PQC的面積等于16cm²；

（3）能夠使得PQ⊥OC，如圖所示：
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜邊上中線定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴

CP

CB

=

CQ

CA

，
∴

10-t

15

=

2t

10

，
∴t=2.5s．
∴當(dāng)t=2.5s時(shí)，PQ⊥OC．

點(diǎn)評：此題比較難，內(nèi)容比較多，也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，考查了勾股定理、三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，綜合性很強(qiáng)，對于學(xué)生的能力要求比較高．