Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）D是笫一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連結(jié)BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．

①求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式及自變量m的取值范圍；

②當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值；

③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+4x+5；

（2）①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為s=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，S最大值=；

③直線BC能把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）或（）

【解析】（1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-5），將點(diǎn)C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，結(jié)合點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再由點(diǎn)橫坐標(biāo)為m得出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的面積公式，即可得出結(jié)論； 由 的結(jié)論，利用配方法將S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行變形，從而得出結(jié)論；

結(jié)合圖象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它們的面積比=DE：EF，分兩種情況考慮，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于m的分式方程，解方程即可得出m的值，將其代入到點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.

（1）∵拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），

∴設(shè)y=a（x+1）（x﹣5），

∴5=a（0+1）（0﹣5），

解得a=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+4x+5；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則

解得，

∴y=﹣x+5，

設(shè)D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s=（﹣m2+5m）=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②s=﹣m2+m=，

∵，

∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，S最大值=；

③∵△BDE和△BFE是等高的，

∴它們的面積比=DE：EF，

（�。┊�(dāng)DE：EF=2：3時(shí)，

即，

解得：（舍），

此時(shí)，D（）；

（ⅱ）當(dāng)DE：EF=3：2時(shí)，

即，

解得：（舍），

此時(shí)，D（）．

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）或（）．

“點(diǎn)睛”本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的公式以及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式；找出直線BC的函數(shù)解析式；運(yùn)用配方法解決問題.解題時(shí)注意分類討論的思想的運(yùn)用.