Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分線DE分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，BE和AD相交于點(diǎn)F，設(shè)∠AFB=y，∠C=x．
（1）求證：∠CBE=∠CAD；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),函數(shù)關(guān)系式,函數(shù)自變量的取值范圍

專題：

分析：（1）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，故∠CBE=∠C=x．再由D為BC的中點(diǎn)可知AD=DC，故∠CAD=∠C=x，由此可得出結(jié)論；
（2）由（1）知，∠CBE=∠CAD=∠C=x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ADB=2x，同理可得出結(jié)論；
（3）由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠CBE=∠C=x．
∵∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD=DC，
∴∠CAD=∠C=x，
∴∠CBE=∠CAD；

（2）解：∵由（1）知，∠CBE=∠CAD=∠C=x，
∴∠ADB=2x，
∵∠AFB=∠EBD+∠ADB，
∴y=3x．

（3）解：∵∠C+∠ABC=90°，∠CBE=∠CAD，
∴0°＜x＜45°．

點(diǎn)評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．