Question

如圖所示，在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使C′、A、B在同一直線上．
（1）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′時(shí)所經(jīng)過的路線長；
（2）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段BC所掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=60°，然后求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長度，再根據(jù)掃過的面積等于扇形BAB′的面積加上△AB′C′的面積減去扇形CAC′的面積與△ABC的面積的和，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知△AB′C′與△ABC的面積相等，從而得到線段BC掃過的面積等于兩個(gè)扇形的面積的差，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∵C′、A、B在同一直線上，
∴旋轉(zhuǎn)角∠CAC′=180°-60=120°，
∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′時(shí)所經(jīng)過的路線長==π；

（2）∵∠ABC=30°，AB=4cm，
∴AC=AB=×4=2cm，
線段BC所掃過的面積=S_扇形BAB′+S_△AB′C′-S_扇形CAC′-S_△ABC，
=S_扇形BAB′-S_扇形CAC，
=-，
=4π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及弧長的計(jì)算，扇形的面積的計(jì)算，（2）推出掃過的面積等于兩個(gè)扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵．