Question

10．如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB＞6$\sqrt{3}$．
（1）求∠EPF的大��；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠FPG，最后求出∠EPF．
（2）先判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可，
（3）根據(jù)運動情況及菱形的性質(zhì)判斷求出AP最大和最小值．

解答 解：（1）過點P作PG⊥EF于點G，如圖1所示．

∵PE=PF=6，EF=6$\sqrt{3}$，
∴FG=EG=3$\sqrt{3}$，∠FPG=∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF．
在Rt△FPG中，sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=120°．
（2）過點P作PM⊥AB于點M，作PN⊥AD于點N，如圖2所示．

∵AC為菱形ABCD的對角線，
∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．
在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴ME=NF．
又AP=10，∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∴AM=AN=APcos30°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=（AM+ME）+（AN-NF）=AM+AN=10$\sqrt{3}$．
（3）如圖，

當點P在EF右邊時，
∵∠BAD=60°，∠EPF=120°，
∴∠BAD+∠EPF=180°，
∴點A，E，P，F(xiàn)四點共圓，
∴AP是此圓的直徑時，AP最大，
∵PE=PF，
∴EF⊥AC時，AP最大，
∴當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，
同理：當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值，
設(shè)AC與EF交于點O，
∵PE=PF，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=3$\sqrt{3}$，
∵∠FPA=60°，
∴OP=3，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=9，
∴AP=AO+PO=12，
同理AP′=AO-OP=6，
∴AP的最大值為12，AP的最小值為6，

點評 此題是菱形的性質(zhì)題，主要考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．