【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),點(diǎn)B(4,0),與y軸的交點(diǎn)為C
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)已知點(diǎn)M是線段OB上一動點(diǎn),過點(diǎn)M作平行于y軸的直線l,直線l與拋物線交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F,連接CE,若△CEF與△OBC相似,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)M是x軸正半軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)M作平行于y軸的直線l,直線l與拋物線交于P,與直線BC交于點(diǎn)Q,連接CP,將△CPQ沿CP翻折后,是否存在這樣的直線l,使得翻折后的點(diǎn)Q剛好落在y軸上?若存在,請求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(3,0);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(,0).
【解析】試題分析:(1)理由待定系數(shù)法即可解決問題;
(2)法兩種情形①如圖1中,當(dāng)CE⊥CF時,△CEF∽△OBC.求出直線EC的解析式,利用方程組即可解決問題;②如圖2中,當(dāng)CE⊥EF時,△EFC∽△OBC.此時E(3,-3),M(3,0);
(3)分兩種情形.①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸的負(fù)半軸上時,設(shè)P(m, m2-m-3),則Q(m, m-3).②如圖4中,如圖3中,當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸的負(fù)半軸上時,設(shè)P(m, m2-m-3),則Q(m, m-3).同法可得:PQ=CQ.分別構(gòu)建方程即可解決問題.
試題解析:
解:(1)把A(﹣1,0),點(diǎn)B(4,0)代入y=ax2+bx﹣3,
得到,解得,
∴拋物線的解析式為y=x2-x-3.
(2)①如圖1中,當(dāng)CE⊥CF時,△CEF∽△OBC.
∵B(4,0),C(0,﹣3),
∴直線BC的解析式為y=x﹣3,
∴直線CE的解析式為y=﹣x﹣3,
由,解得或,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(,﹣),M(,0);
②如圖2中,當(dāng)CE⊥EF時,△EFC∽△OBC.此時E(3,﹣3),M(3,0)
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(3,0);
(3)存在.①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸的負(fù)半軸上時,設(shè)P(m, m2-m-3),則Q(m, m﹣3).
∵PQ∥CQ′,
∴∠PCQ=∠PCQ′=∠CPQ,
∴QC=QP=﹣m2+3m,
∵QM∥OC,
∴=,
∴=,
解得m=或0(舍棄),
∴M(,0);
②如圖4中,如圖3中,當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸的負(fù)半軸上時,設(shè)P(m, m2-m-3),則Q(m, m﹣3).同法可得:PQ=CQ.
4
∵PQ∥CQ′,
∴∠PCQ=∠PCQ′=∠CPQ,
∴QC=QP=﹣m2+3m,
∵QM∥OC,
∴=,
∴=,
解得m=或0(舍棄),
∴M(,0),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(,0).
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【題目】本學(xué)期,大興區(qū)開展了“恰同學(xué)少年,品詩詞美韻”中華傳統(tǒng)詩詞大賽活動小江統(tǒng)計了班級30名同學(xué)四月份的詩詞背誦數(shù)量,具體數(shù)據(jù)如表所示:
詩詞數(shù)量首 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
人數(shù) | 3 | 4 | 4 | 5 | 7 | 5 | 1 | 1 |
那么這30名同學(xué)四月份詩詞背誦數(shù)量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是
A. 11,7 B. 7,5 C. 8,8 D. 8,7
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【題目】如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象第一象限上一點(diǎn),過點(diǎn)A作軸于B點(diǎn),以AB為直徑的圓恰好與y軸相切,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C,在AB的左側(cè)半圓上有一動點(diǎn)D,連結(jié)CD交AB于點(diǎn)記的面積為,的面積為,連接BC,則是______三角形,若的值最大為1,則k的值為______.
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【題目】如圖,是直線上一點(diǎn),為任一射線,平分,平分,
(1)分別寫出圖中與的補(bǔ)角;
(2)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請說明理由.
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【題目】觀察下列各式
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
(1)根據(jù)以上規(guī)律,則(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ;
(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律(x﹣1)(xn+xn﹣1+……+x+1)= ;
(3)根據(jù)以上規(guī)律求32018+32017+32016+…32+3+1的結(jié)果.
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【題目】某校為打造智慧課堂,準(zhǔn)備集體購買一批平板電腦,原計劃訂購60臺,每臺1000元,商家表示,如果多購,可以優(yōu)惠,結(jié)果校長實際訂購了72臺,每臺減價30元,但商家獲得同樣多的利潤.
(1)求每臺平板電腦的成本是多少元?
(2)求商家的利潤是多少元?
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【題目】某市為了解高峰時段從總站乘16路車出行的人數(shù),隨機(jī)抽查了10個班次乘該路車人數(shù),結(jié)果如下:
14,23,16,25,23,28,26,27,23,25.
(1)計算這10個班次乘車人數(shù)的平均數(shù);
(2)如果16路車在高峰時段從總站共出車60個班次,根據(jù)上面的計算結(jié)果,估計在高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有多少?
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),矩形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B(12,4),點(diǎn)D(3,0),點(diǎn)E(0,2),過點(diǎn)D作DF⊥DE,交AB于點(diǎn)F,連結(jié)EF,將△DEF繞點(diǎn)E逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為θ(0°<θ<180°).
(1)求tan∠DFE.
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△DFE的一邊與直線AB平行時,求直線AB截△DFE所得的三角形的面積.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠DFE的兩邊所在直線與y軸圍成的三角形為等腰三角形時,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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【題目】觀察下表三行數(shù)的規(guī)律,回答下列問題:
第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 | 第5列 | 第6列 | … | |
第1行 | -2 | 4 | -8 | a | -32 | 64 | … |
第2行 | 0 | 6 | -6 | 18 | -30 | 66 | … |
第3行 | -1 | 2 | -4 | 8 | -16 | b | … |
(1)第1行的第四個數(shù)a是 ;第3行的第六個數(shù)b是 ;
(2)若第1行的某一列的數(shù)為c,則第2行與它同一列的數(shù)為 ;
(3)已知第n列的三個數(shù)的和為2562,若設(shè)第1行第n列的數(shù)為x,試求x的值.
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