Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，5

3

)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）求（2）中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）如果點(diǎn)P，Q保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，5

3

)，AB=10，
∴sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，
∴∠BAO=60度．

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．

（3）過P作PM⊥x軸，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．
∴t秒鐘走的路程為2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，又OA=10，
∴OM=（10-t），即為三角形OPQ中OQ邊上的高，
而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，
∴P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

OQ•OM=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

．
∴當(dāng)t=

9

2

時(shí)，S有最大值為

121

4

，此時(shí)P（

11

2

，

9 3

2

）．

（4）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè)．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠OPQ＜90°，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，OQ的長(zhǎng)是12單位長(zhǎng)度，
作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，
由△OPH∽△OPM得：OM=

20 3

3

=11.5，
所以O(shè)Q＞OM，從而∠OPQ＞90度．
所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有1個(gè)．
②同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可算得OQ=12+

10 3

3

=17.8，
而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于（0，

35 3

3

），

35 3

3

=20.2＞17.8，
所以∠OCQ＜90°，從而∠OPQ=90°的點(diǎn)P也有1個(gè)．
所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè)．