已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點A（x1，0）和B（x2，0），與y軸的正半軸交于點C．如果x1、x2是方程x2-x-6=0的兩個根（x1＜x2），且△ABC的面積為
15
2
．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求直線AC和BC的方程；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作直線y=m（m為常數(shù)），與直線BC交于點Q，則在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）A（-2，O），B（3，0），
S△ABC=
15
2
，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線的解析式是y=-
1
2
x2+
1
2
x+3．

（2）由（1）可知，直線AC的方程為y=
3x
2
+3，直線BC的方程為y=-x+3．

（3）假設(shè)存在滿足條件的點R，并設(shè)直線y=m與y軸的交點為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點P不與點A、C重合，
∴點E（0，m）不與點O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形加PQR的一腰，
過點P作PR1⊥x軸于點R1，則∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
即（3-m）-
2m-6
3
=m，
解得m=
15
8
．
∴P（xP，
15
8
），Q（xQ，
15
8
），
點P在直線AC上，
解得xP=-
3
4
，P（-
3
4
，
15
8
）．
∴點R1（-
3
4
，0）．
過點Q作QR2⊥x軸于R2，
同理可求得xQ=
9
8
，Q（
9
8
，
15
8
）．
∴點R2（
9
8
，0）．驗證成立，
當∠PRQ=90°時，PQ=2m，即（3-m）-
2m-6
3
=2m，
解得m=
15
11
，此時R的橫坐標為
1
2
[（3-m）+
2m-6
3
]=
3
11
，
∴R1（-
3
4
，0）、R2（
9
8
，0）、R3（
3
11
，0）是滿足條件的點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸的正半軸交于點C，頂點為E．
（1）求拋物線解析式及頂點E的坐標；
（2）如圖，過點E作BC平行線，交x軸于點F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：______；
（3）將拋物線向下平移，與x軸交于點M、N，與y軸的正半軸交于點P，頂點為Q．在四邊形MNQP中滿足S△NPQ=S△MNP，求此時直線PN的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（人教版）已知：二次函數(shù)y=x2-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且x12+x22=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在過點D（0，-
5
2
）的直線與拋物線交于點M、N，與x軸交于點E，使得點M、N關(guān)于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知：O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°且A（2，0）．求：過A、B、O三點的二次函數(shù)解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，頂點為F．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

附加題：如圖所示，已知主橋拱為拋物線型，在正常水位下測得主拱寬24m，最高點離水面8m，以水平線AB為x軸，AB的中點為原點建立坐標系．
（1）此橋拱線所在拋物線的解析式．
（2）橋邊有一浮在水面部分高4m，最寬處12
2
m的魚船，試探索此船能否開到橋下？說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，記拋物線y=-x2+1的圖象與x正半軸的交點為A，將線段OA分成n等份，設(shè)分點分別為P1，P2，…Pn-1，過每個分點作x軸的垂線，分別與拋物線交于點Q1，Q2，…，Qn-1，再記直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，Pn-2Pn-1Qn-1的面積分別為S1，S2，…，這樣就有S1=
n2-1
2n3
，S2=
n2-4
2n3
，…；記W=S1+S2+…+Sn-1，當n越來越大時，你猜想W最接近的常數(shù)是（　�。�
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某商場經(jīng)營某種品牌的童裝，購進時的單價是60元．根據(jù)市場調(diào)查，在一段時間內(nèi)，銷售單價是80元時，銷售量是200件，而銷售單價每降低1元，就可多售出20件．
（1）寫出銷售量y件與銷售單價x元之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出銷售該品牌童裝獲得的利潤w元與銷售單價x元之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若童裝廠規(guī)定該品牌童裝銷售單價不低于76元，且商場要完成不少于240件的銷售任務(wù)，則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的頂點A的坐標為（10，0），頂點B的坐標為(5，5
3
)，AB=10，點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．
（2）當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點P的運動速度．
（3）求（2）中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標．
（4）如果點P，Q保持（2）中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點P有幾個？請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案