Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，PD切⊙O于C，BC和AD的延長線相交于點E，且AB=AE．
（1）求證：AD⊥PD；
（2）若圓的半徑為1，△ABE是等邊三角形，求BP的長．

Answer 1

（1）證明：連OC，如圖，
∵PD切⊙O于C，
∴OC⊥PD，
∵AB=AE，
∴∠2=∠E，
而OC=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴OC∥AE，
∴AD⊥PD；

（2）解：∵△ABE是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠COB=60°，
而∠OCP=90°，OB=OC=1，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=2，
∴BP=2-1=1．
分析：（1）連OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，又AB=AE，OC=OB，則∠2=∠E，∠1=∠2，得到∠1=∠E，則OC∥AE，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=60°，則∠COB=60°，則∠P=30°，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OP=2OC=2，從而求出BP．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．