【題目】點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A,C重合),分別過點A,C向直線BP作垂線,垂足分別為點E,F,點O為AC的中點.
(1)如圖1,當點P與點O重合時,請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系;
(2)當點P運動到如圖2所示位置時,請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立;
(3)若點P在射線OA上運動,恰好使得∠OEF=30°時,猜想此時線段CF,AE,OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論不必證明.
【答案】(1)OE=OF.理由見解析;(2)補全圖形如圖所示見解析,OE=OF仍然成立;(3)CF=OE+AE或CF=OE﹣AE.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線,即可判定,得出OE=OF;
(2)先延長EO交CF于點G,通過判定,得出OG=OE,再根據(jù)中,,即可得到OE=OF;
(3)根據(jù)點P在射線OA上運動,需要分兩種情況進行討論:當點P在線段OA上時,當點P在線段OA延長線上時,分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進行推導計算即可.
(1)OE=OF.理由如下:
如圖1.
∵四邊形ABCD是矩形,∴ OA=OC.
∵,,∴.
∵在和中,,∴,∴ OE=OF;
(2)補全圖形如圖2,OE=OF仍然成立.證明如下:
延長EO交CF于點G.
∵,,∴ AE//CF,∴.
又∵點O為AC的中點,∴ AO=CO.
在和中,,∴,∴ OG=OE,∴中,,∴ OE=OF;
(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.
證明如下:①如圖2,當點P在線段OA上時.
∵,,∴,由(2)可得:OF=OG,∴是等邊三角形,∴ FG=OF=OE,由(2)可得:,∴ CG=AE.
又∵ CF=GF+CG,∴ CF=OE+AE;
②如圖3,當點P在線段OA延長線上時.
∵,,∴,同理可得:是等邊三角形,∴ FG=OF=OE,同理可得:,∴ CG=AE.
又∵ CF=GF-CG,∴ CF=OE-AE.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系 中,對于點 ,我們把點 叫做點 的伴隨點。已知點 的伴隨點為 ,點的伴隨點為 ,點的伴隨點為 ,…,這樣依次得到點 。若點的坐標為 ,則 的坐標為________。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:至少有一組對邊相等的四邊形為“等對邊四邊形”.
(1)請寫出一個你學過的特殊四邊形中是“等對邊四邊形”的名稱;
(2)如圖1,四邊形ABCD是“等對邊四邊形”,其中AB=CD,邊BA與CD的延長線交于點M,點E、F是對角線AC、BD的中點,若∠M=60°,求證:EFAB;
(3)如圖2.在△ABC中,點D、E分別在邊AC、AB上,且滿足∠DBC=∠ECB∠A,線段CE、BD交于點.
①求證:∠BDC=∠AEC;
②請在圖中找到一個“等對邊四邊形”,并給出證明.
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【題目】已知拋物線與軸只有一個交點,且與軸交于點,如圖,設(shè)它的頂點為B.
(1)求的值;
(2)過A作x軸的平行線,交拋物線于點C,求證:△ABC是等腰直角三角形;
(3)將此拋物線向下平移4個單位后,得到拋物線,且與x軸的左半軸交于E點,與y軸交于F點,如圖.請在拋物線上求點P,使得△是以EF為直角邊的直角三角形?
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【題目】閱讀下面的文字,解答問題.
如圖,在平面直角坐標系中,點D的坐標是(﹣3,1),點A的坐標是(4,3).
(1)點B和點C的坐標分別是________、________.
(2)將△ABC平移后使點C與點D重合,點A、B分別與點E、F重合,畫出△DEF.并直接寫出E點的坐標 ,F點的坐標 .
(3)若AB上的點M坐標為(x,y),則平移后的對應(yīng)點M′的坐標為___ _____.
(4)求的面積.
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【題目】(本題10分)如圖,直線y=x+m和拋物線y=+bx+c都經(jīng)過點A(1,0),
B(3,2).
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接寫出答案)
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【題目】如圖,Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上,雙曲線y=經(jīng)過斜邊OA的中點C,與另一直角邊交于點D.若S△OCD=9,則S△OBD的值為 .
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣1,2),且與X軸交點的橫坐標分別為x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列結(jié)論:
①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b2+8a>4ac,
其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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