Question

如圖1，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊向外做正方形ABCD．
（1）當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時(shí)，如圖2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求直線AB的解析式．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，正方形ABCD的面積為S，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并判斷正方形ABCD的面積是否存在最大值或最小值？如果存在，求出m的值，如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，構(gòu)建全等三角形（△ABO≌△BCE），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得OB=EC=2，OA=EB=4，則OE=OB+EB=6，所以C（-2，6）；
（2）如圖3，連接OB，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D．利用切線的性質(zhì)證得∠ABO=90°．通過解直角△ABO和直角△ABD可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是B（-1，

3

）．然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入直線AB的方程
y=kx+b（k≠0），列出關(guān)于k、b數(shù)的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）理由勾股定理求得AB²=AD²+BD²=（4+m）²+4-m²=8m+20．即S=8m+20．所以結(jié)合圖形可知-2≤m≤2，則4≤S≤36．即當(dāng)m=2時(shí)，S_最大值=36；當(dāng)m=-2時(shí)，S_最小值=4．

解答：解：（1）如圖2，∵⊙O的半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），四邊形ABCD是正方形，
∴OA=4，OB=2，AB=BC，∠ABC=90°．
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，則∠1=∠2（同腳的余角相等）．
∵在△ABO與△BCE中，

∠AOB=∠BEC ∠1=∠2 AB=BC

，
∴△ABO≌△BCE（ASA），
∴OB=EC=2，OA=EB=4，
∴OE=OB+EB=2+4=6，
∴C（-2，6）；

（2）如圖3，連接OB，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D．
∵AB是⊙O的切線，
∴∠ABO=90°．
∵OB=2，OA=4，
∴OB=

1

2

OA，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2

3

，
∴BD=

3

，AD=3，則OD=OA-AD=1，
∴B（-1，

3

）．
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0）．把A（-4，0），B（-1，

3

）代入，得

-4k+b=0 -k+b= 3

，
解得，

k= 3 3 b= 4 3 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

4 3

3

．
∵直線AB′與直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴直線AB′的解析式為：y=-

3

3

x-

4 3

3

．
綜上所述，滿足條件的直線AB的方程為y=

3

3

x+

4 3

3

或y=-

3

3

x-

4 3

3

；

（3）正方形ABCD的面積存在最大值或最小值．理由如下：
如圖3，在直角△OBD中，OB=2，OD=|m|，則根據(jù)勾股定理求得BD²=OB²-OD²=4-m²．
在直角△ABD中，根據(jù)勾股定理，得到AB²=AD²+BD²=（4+m）²+4-m²=8m+20．即S=8m+20．
∵-2≤m≤2，
∴4≤S≤36．即當(dāng)m=2時(shí)，S_最大值=36；當(dāng)m=-2時(shí)，S_最小值=4．
綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式是S=8m+20，當(dāng)m=2時(shí)，S_最大值=36；當(dāng)m=-2時(shí)，S_最小值=4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正方形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的優(yōu)勢(shì)，使抽象的問題變得形象化，降低了題的難度與梯度．