【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在B左邊),與y軸交于點C.
(1)如圖1,已知A(﹣1,0),B(3,0).
①直接寫出拋物線的解析式;
②點H在x軸上,M(1,0),連接AC、MC、HC,若CM平分∠ACH,求H的坐標;
(2)如圖2,直線y=﹣1與拋物線y=﹣x2+bx+c交于拋物線對稱軸右側(cè)的點為點D,點E與點D關于x軸對稱.試判斷直線DB與直線AE的位置關系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)①y=﹣x2+2x+3,②(,0);(2)DB⊥AE,見解析
【解析】
(1)①用待定系數(shù)法解答便可;
②過H作HN∥AC與CM的延長線交于點N,證明△ACM∽△HNM,進而得,再在△OCH中,由勾股定理得列出方程便可求得結(jié)果;
(2)設DE與x軸交于點K,先求出D點坐標,進而得BK、DK、EK、AK,再計算tan∠BDK和tan∠EAK,得這兩角相等,最后推理得∠BDK+∠E=90°便可.
(1)①把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c中,得
,
∴,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
②過H作HN∥AC與CM的延長線交于點N,如圖1
∴△ACM∽△HNM,
∴,
∴∠ACN=∠N,
∵CM平分∠ACH,
∴∠HCN=∠ACN=∠CNH,
∴CH=NH,
∴,
∵C(0,3),
∴,
AM=2,
∴,
∴,
設MH=2a,則CH=a,
∵OC2+OH2=CH2,
∴,
解得,a=﹣1(舍去),或,
∴,
∴H(,0);
(2)當y=﹣1時,y=﹣x2+bx+c=﹣1,則x2﹣bx﹣c﹣1=0,
∴,
∴D(,﹣1),
當y=0時,y=﹣x2+bx+c=0,即x2﹣bx﹣c=0,則,
∴,,
設DE與x軸交于點K,
則,
∴,
又,
∴,
∴∠BDK=∠EAK,
∵DE⊥AK,
∴∠EAK+∠E=90°,
∴∠BDK+∠E=90°,
∴BD⊥AE.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點C是y軸正半軸上的一個動點,拋物線y=ax2-6ax+5a(a是常數(shù),且a>0)過點C,與x軸交于點A、B,點A在點B的左邊.連接AC,以AC為邊作等邊三角形ACD,點D與點O在直線AC兩側(cè),連接BD,則BD的最小值是_________.
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【題目】電子政務、數(shù)字經(jīng)濟、智慧社會……一場數(shù)字革命正在神州大地激蕩,在第二屆數(shù)字中國建設峰會召開之際,某校舉行了第二屆“掌握新技術,走進數(shù)時代”信息技術應用大賽,將該校八年級參加競賽的學生成績統(tǒng)計后,繪制成如下統(tǒng)計圖表(不完整)
“掌握新技術,走進數(shù)時代”信息技術應用大賽成績頻數(shù)分布統(tǒng)計表:
組別 | 成績x(分) | 人數(shù) |
A | 60≤x<70 | 10 |
B | 70≤x<80 | m |
C | 80≤x<90 | 16 |
D | 90≤x≤100 | 4 |
請觀察上面的圖表,解答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中m= ;統(tǒng)計圖中n= ;B組的圓心角是 度.
(2)D組的4名學生中,有2名男生和2名女生.從D組隨機抽取2名學生參加5G體驗活動,請你畫出樹狀圖或用列表法求:
①恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體驗活動的概率;
②至少1名女生被抽取參加5G體驗活動的概率.
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【題目】為了了解學生參加體育活動的情況,學校對學生進行隨機抽樣調(diào)查,其中一個問題是“你平均每天參加體育活動的時間是多少”,共有4個選項:A.1.5小時以上;B.1~1.5小時;C.0.5~1小時;D.0.5小時以下.圖1、2是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答以下問題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名學生?
(2)在圖1中將選項B的部分補充完整;
(3)若該校有3000名學生,你估計全校可能有多少名學生平均每天參加體育活動的時間在1小時以下.
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【題目】隨著社會的發(fā)展,通過微信朋友圈發(fā)布自己每天行走的步數(shù)已經(jīng)成為一種時尚.“健身達人”小陳為了了解他的好友的運動情況.隨機抽取了部分好友進行調(diào)查,把他們6月1日那天行走的情況分為四個類別:A(0~5000步)(說明:“0~5000”表示大于等于0,小于等于5000,下同),B(5001~10000步),C(10001~15000步),D(15000步以上),統(tǒng)計結(jié)果如圖所示:
請依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果回答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了 位好友.
(2)已知A類好友人數(shù)是D類好友人數(shù)的5倍.
①請補全條形圖;
②扇形圖中,“A”對應扇形的圓心角為 度.
③若小陳微信朋友圈共有好友150人,請根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)估計大約有多少位好友6月1日這天行走的步數(shù)超過10000步?
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【題目】甲、乙兩所醫(yī)院分別有一男一女共4名醫(yī)護人員支援湖北武漢抗擊疫情.
(1)若從甲、乙兩醫(yī)院支援的醫(yī)護人員中分別隨機選1名,則所選的2名醫(yī)護人員性別相同的概率是 ;
(2)若從支援的4名醫(yī)護人員中隨機選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名醫(yī)護人員來自同一所醫(yī)院的概率.
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【題目】如圖,點從點出發(fā)沿方向運動,點從點出發(fā)沿方向運動,同時出發(fā)且速度相同,(長度不變,在上方,在左邊),當點到達點時,點停止運動.在整個運動過程中,圖中陰影部分面積的大小變化情況是( )
A.一直減小B.一直不變C.先減小后增大D.先增大后減小
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【題目】已知二次函數(shù) (為常數(shù)),當自變量的值滿足時,與其對應的函數(shù)值的最大值為-1,則的值為( )
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
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【題目】一輛快車從甲地出發(fā)到乙地,一輛慢車從乙地出發(fā)到甲地,兩車同時出發(fā),勻速行駛,慢車到甲地后停止行駛,快車到乙地后休息半小時,然后以另一速度返回甲地.兩車之間的距離(千米)與快車行駛的時間(小時)之間的函數(shù)關系,如圖所示.當慢車到達甲地時,快車與乙地的距離為_____千米.
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