Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形中，，，是的中點(diǎn)，，分別是，上的點(diǎn)(點(diǎn)不與端點(diǎn)重合)，且，連接并取的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接.

(1)求證：四邊形是正方形；

(2)當(dāng)點(diǎn)在什么位置是，四邊形的面積最�。坎�求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4.

【解析】

試題分析：（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（2）過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

試題解析：（1）證明：連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點(diǎn)，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四邊形EDFG是正方形；

（2）解：過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′=BC=2，AB=4，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，

∴2≤DE＜2（點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．

∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．