Question

【題目】將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB= ，P是AC上的一個動點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PD=BC時，求此時∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，AB=2 ，∠BAC=30°，

∴BC= ，AC=3．

如圖（1），作DF⊥AC．

∵Rt△ACD中，AD=CD，

∴DF=AF=CF= ．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC=30°，

∴CP=BCtan30°=1，

∴PF= ，

∴DP= =

（2）解：當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時，

根據(jù)（1）中結(jié)論，DF= ，∠ADF=45°，

又∵PD=BC= ，

∴cos∠PDF= = ，

∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°．

當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時，

同（2）可得∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

故∠PDA的度數(shù)為15°或75°；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到邊AC中點(diǎn)（如圖4），即CP= 時，

以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上．

∵四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，

∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．

而在Rt△ABC中，AB=2 ，BC= ，

∴根據(jù)勾股定理得：AC=3，

∵△DAC為等腰直角三角形，

∴DP=CP= AC= ，

∵BC∥DP，

∴PC是平行四邊形DPBQ的高，

∴S平行四邊形DPBQ=DPCP= ．

【解析】（1）作DF⊥AC，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊形，求得面積．