(2004•呼和浩特)閱讀下列材料:
如圖1,⊙O1和⊙O2外切于點C,AB是⊙O1和⊙O2外公切線,A、B為切點,
求證:AC⊥BC
證明:過點C作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切線
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根據(jù)上述材料,解答下列問題:
(1)在以上的證明過程中使用了哪些定理?請寫出兩個定理的名稱或內(nèi)容;
(2)以AB所在直線為x軸,過點C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系(如圖2),已知A、B兩點的坐標為(-4,0),(1,0),求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線y=ax2+bx+c的函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線,試判斷這條拋物線的頂點是否落在兩圓的連心O1O2上,并說明理由.

【答案】分析:(1)由切線長相等可知用了切線長定理;由三角形的內(nèi)角和是180°,可知用了三角形內(nèi)角和定理;
(2)先根據(jù)勾股定理求出C點坐標,再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)解析式;
(3)過C作兩圓的公切線,交AB于點D,由切線長定理可求出D點坐標,根據(jù)C,D兩點的坐標可求出過C,D兩點直線的解析式,根據(jù)過一點且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式,再把拋物線的頂點坐標代入直線的解析式看是否適合即可.
解答:解:(1)DA、DC是⊙O1的切線,
∴DA=DC.應(yīng)用的是切線長定理;
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.

(2)設(shè)C點坐標為(0,y),則AB2=AC2+BC2,
即(|-4-1|)2=(-4)2+y2+12+y2,
即25=17+2y2,解得y=2(舍去)或y=-2.
故C點坐標為(0,-2),
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,
,
解得,
故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2+x-2.

(3)過C作兩圓的公切線CD交AB于D,則AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(-,0),
設(shè)過CD兩點的直線為y=kx+b,則
解得
故此一次函數(shù)的解析式為y=-x-2,
∵過O1,O2的直線必過C點且與直線y=-x-2垂直,
故過O1,O2的直線的解析式為y=-x-2.
由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為(,-),
代入直線解析式得-×-2=-,故這條拋物線的頂點落在兩圓的連心O1O2上.
點評:此題是一道材料分析題.解答時要閱讀材料,獲得解題思路,并根據(jù)兩圓外切的條件作出輔助線,結(jié)合拋物線和直線的性質(zhì)解答.
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