(2008•太原)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+1與y=-x+3交于點(diǎn)A,分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C,點(diǎn)D是直線AC上的一個動點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△CBD為等腰三角形時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在直線AB上是否存在點(diǎn)E,使得以點(diǎn)E,D,O,A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,直接寫出的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)令y=0,代入直線解析式求出B,C點(diǎn)坐標(biāo).聯(lián)立方程組后可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)當(dāng)△CBD為等腰三角形時,分三種情況討論(BD1=D1C;BC=BD2;CD3=BC,或CD4=BC),依靠輔助線的幫助求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)本題也要借助輔助線的幫助.分為三種情況討論(當(dāng)四邊形AE1OD1為平行四邊形;當(dāng)四邊形AD2E1O為平行四邊形時;當(dāng)四邊形AOD1E2為平行四邊形時).
解答:解:(1)在y=x+1中,當(dāng)y=0時,x+1=0,∴x=-1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0). (1')
在y=-x+3中,當(dāng)y=0時,-x+3=0,∴x=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0). (2分)
由題意,得解得
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,).(3分)

(2)當(dāng)△CBD為等腰三角形時,有以下三種情況,如圖(1).設(shè)動點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).
由(1),得B(-1,0),C(4,0),∴BC=5.
①當(dāng)BD1=D1C時,過點(diǎn)D1作D1M1⊥x軸,垂足為點(diǎn)M1,則BM1=M1C=BC.
∴BM1=,OM1=-1=,x=
∴y=-,點(diǎn)D1的坐標(biāo)為.(4分)
②當(dāng)BC=BD2時,過點(diǎn)D2作D2M2⊥x軸,垂足為點(diǎn)M2,則D2M22+M2B2=D2B2
∵M(jìn)2B=-x-1,D2M2=-x+3,D2B=5,
∴(-x-1)2+(-x+3)2=52
解得x1=-,x2=4(舍去).此時,
∴點(diǎn)D2的坐標(biāo)為. (6分)
③當(dāng)CD3=BC,或CD4=BC時,同理可得D3(0,3),D4(8,-3).(9分)
由此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為D1,),D2(-,),D3(0,3),D4(8,-3).
評分說明:符合條件的點(diǎn)有4個,正確求出1個點(diǎn)的坐標(biāo)得(1分),2個點(diǎn)的坐標(biāo)得(3分),3個點(diǎn)的坐標(biāo)得(5分),4個點(diǎn)的坐標(biāo)得滿分;與所求點(diǎn)的順序無關(guān).

(3)存在.以點(diǎn)E,D,O,A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有以下三種情形,如圖(2).
①當(dāng)四邊形AE1OD1為平行四邊形時,. (10分)
②當(dāng)四邊形AD2E1O為平行四邊形時,=.(11分)
③當(dāng)四邊形AOD1E2為平行四邊形時,.(12分)
點(diǎn)評:本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用,平行四邊形的判定以及線段比的有關(guān)知識,難度中上.
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