【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為1cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:
(1)設(shè)△APQ的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí),S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)如圖乙,連接PC,將△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQP′C,當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí),求t的值;′
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ是等腰三角形?
【答案】
(1)
解:如圖甲,過點(diǎn)P作PH⊥AC于H,
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴ ,
∵AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=5cm,
∴ = ,
∴PH=3﹣ t,
∴△AQP的面積為:
S= ×AQ×PH= ×t×(3﹣ t)=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴當(dāng)t為 秒時(shí),S最大值為 cm2
(2)
解:如圖乙,連接PP′,PP′交QC于E,
當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí),PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,
∴△APE∽△ABC,
∴ = ,
∴AE= = =﹣ t+4
QE=AE﹣AQ═﹣ t+4﹣t=﹣ t+4,
QE= QC= (4﹣t)=﹣ t+2,
∴﹣ t+4=﹣ t+2,
解得:t= ,
∵0< <4,
∴當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí),t的值是 s
(3)
解:由(1)知,
PE=﹣ t+3,與(2)同理得:QE=AE﹣AQ=﹣ t+4
∴PQ= = = ,
在△APQ中,
① 當(dāng)AQ=AP,即t=5﹣t時(shí),解得:t1= ;
②當(dāng)PQ=AQ,即 =t時(shí),解得:t2= ,t3=5;
③當(dāng)PQ=AP,即 =5﹣t時(shí),解得:t4=0,t5= ;
∵0<t<4,
∴t3=5,t4=0不合題意,舍去,
∴當(dāng)t為 s或 s或 s時(shí),△APQ是等腰三角形
【解析】(1)過點(diǎn)P作PH⊥AC于H,由△APH∽△ABC,得出 = ,從而求出AB,再根據(jù) = ,得出PH=3﹣ t,則△AQP的面積為: AQPH= t(3﹣ t),最后進(jìn)行整理即可得出答案;(2)連接PP′交QC于E,當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí),得出△APE∽△ABC, = ,求出AE=﹣ t+4,再根據(jù)QE=AE﹣AQ,QE= QC得出﹣ t+4=﹣ t+2,再求t即可;(3)由(1)知,PE=﹣ t+3,與(2)同理得:QE=﹣ t+4,從而求出PQ= ,
在△APQ中,分三種情況討論:①當(dāng)AQ=AP,即t=5﹣t,②當(dāng)PQ=AQ,即 =t,③當(dāng)PQ=AP,即 =5﹣t,再分別計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC是正方形,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2),D是x軸正半軸上的一點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)A的右邊),以BD為邊向外作正方形BDEF(E,F(xiàn)兩點(diǎn)在第一象限),連接FC交AB的延長線于點(diǎn)G.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,G兩點(diǎn),則k的值為 ______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于反比例函數(shù)y=的下列說法正確的是( )
① 該函數(shù)的圖象在第二、四象限;
② A(x1、y1)、B(x2、y2)兩點(diǎn)在該函數(shù)圖象上,若x1<x2,則y1<y2;
③ 當(dāng)x>2時(shí),則y>-2;
④ 若反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+b的圖象無交點(diǎn),則b的范圍是-4<b<4.
A. ① ③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A′B′C可以由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn),連接AB′,且A、B′、A′在同一條直線上,則AA′的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張家界市為了治理城市污水,需要鋪設(shè)一段全長為300米的污水排放管道,鋪設(shè)120米后,為了盡可能減少施工對城市交通所造成的影響,后來每天的工作量比原計(jì)劃增加20%,結(jié)果共用了27天完成了這一任務(wù),求原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織學(xué)生排球墊球訓(xùn)練,訓(xùn)練前后,對每個(gè)學(xué)生進(jìn)行考核.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了訓(xùn)練前后兩次考核成績,并按“A,B,C”三個(gè)等次繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息,解答下列問題:
(1)抽取的學(xué)生中,訓(xùn)練后“A”等次的人數(shù)是多少?并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖.
(2)若學(xué)校有600名學(xué)生,請估計(jì)該校訓(xùn)練后成績?yōu)椤癆”等次的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖像交于A(2,4),B(-4,n)兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)C.
(1)求m、n的值;
(2)請直接寫出不等式kx+b<的解集;
(3)將x軸下方的圖像沿x軸翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,連接AB′、B′C,求△A B′C的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程x2-(2k+1)x+4k-2=0
(1)求證:不論k取何值,這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根
(2)若等腰△ABC一邊長a=4,另兩邊長b,c恰好是這個(gè)方程的兩根,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B在線段EF上,點(diǎn)M、N分別是線段EA、BF的中點(diǎn),EA:AB:BF=1:2:3,若MN=8cm,則線段EF的長是( 。
A. 10 cm B. 11 cm C. 12 cm D. 13 cm
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