Question

12．在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作一條直線分別交DA、BC的延長線于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=$\frac{2}{3}$，求EM：MF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）設(shè)OM=x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：設(shè)OM=2x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO=$\frac{2}{3}$，
∴BM=3x，
又∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠OBM，
∴△AOM∽△OBM，
∴$\frac{AM}{OM}$=$\frac{OM}{BM}$，
∴AM=$\frac{O{M}^{2}}{BM}$=$\frac{4}{3}$x，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△BFM，
∴EM：FM=AM：BM=$\frac{4}{3}$x：3x=4：9．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于（2）兩次求出三角形相似．