Question

（2006•大興安嶺）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點(diǎn)D、E．
（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：OD+OE=OC；
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）CD與OA垂直時(shí)，根據(jù)勾股定理易得OC與OD、OE的關(guān)系，將所得的關(guān)系式相加即可得到答案．
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，易得△CKD≌△CHE，進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)果．解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)CD與OA垂直時(shí)，
∵△CDO為Rt△，
∴OC=，
∴，
由題意得四邊形ODCE是正方形，
∴OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE=．

（2）過點(diǎn)C分別作CK⊥OA，垂足為K，CH⊥OB，垂足為H．
∵OM為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1與∠2都為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK=，
∴OD+OE=．

（3）結(jié)論不成立．
過點(diǎn)C分別作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=，
∴OD，OE，OC滿足．
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．