Question

在平面直角坐標系xOy中，直線分別與x軸，y軸交于過點A，B，點C是第一象限內的一點，且AB=AC，AB⊥AC，拋物線經過A，C兩點，與軸的另一交點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）判斷直線AB與CD的位置關系，并證明你的結論；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A,B,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）AB∥CD，證明見解析；（3）存在，（，1），（，1），（，-1），（，-1）．

試題分析：（1）求得點C的坐標，應用待定系數法即可求得拋物線的解析式．
（2）根據勾股定理求出AC，CD，AD的長，從而根據勾股定理逆定理得到△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．
（3）由題意可知，要使得以A,B,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．據此列出方程求解即可．
（1）由題意可求點A(2，0)，點B（0,1）．
過點C作CE⊥x軸，易證△AOB≌△ECA．
∴ OA=CE=2，OB=AE=1．
∴ 點C的坐標為（3,2）．
將點A(2，0)，點C(3，2)代入，
得，，解得．
∴二次函數的解析式為．

（2）AB∥CD．證明如下：
令，解得．
∴ D點坐標為（7,0）．
可求 ．
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴ AB∥CD．
（3）如圖，由題意可知，要使得以A,B,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．
∵ B點坐標為（0,1），
∴ 點N到x軸的距離等于1．
可得和．
解這兩個方程得．
∴點N的坐標分別為（，1），（，1），（，-1），（，-1）．