Question

【題目】如圖，在中，點是邊上（端點除外）的一個動點，過點作直線．設交的平分線于點，交的外角平分線于點，連接、．那么當點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】當點運動到的中點（或）時，四邊形是矩形，證明詳見解析.

【解析】

當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

當點運動到的中點（或）時，四邊形是矩形．

證明：∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四邊形是矩形．