Question

5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4cm，若點(diǎn)E為Rt△ABC斜邊AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交直線AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折疊，其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，若使△A′BC為等腰三角形，則AE的長為2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．

Answer 1

分析 解直角三角形得到∠A=60°，AC=8cm，BC=4$\sqrt{3}$cm，①當(dāng)A′B=A′C時(shí)，如圖1，推出△AA′B是等邊三角形，于是得到AA′=4cm，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到AE=$\frac{1}{2}$A′A=2cm；②當(dāng)A′C=BC=4$\sqrt{3}$cm時(shí)，如圖2，由線段的和差得到AA′=8-4$\sqrt{3}$，求得AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4-2$\sqrt{3}$）cm，AE=$\frac{1}{2}$AA″=（4+2$\sqrt{3}$）cm；③當(dāng)A′B=BC時(shí)，這種情況不存在．

解答 解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，∵AB=4cm，
∴AC=8cm，BC=4$\sqrt{3}$cm，
①當(dāng)A′B=A′C時(shí)，如圖1，
∵∠AA′B=∠A′BC+∠C=60°，
∴∠A=∠AA′B，
∴△AA′B是等邊三角形，
∴AA′=A′B=A′C=$\frac{1}{2}$AC，
∴AA′=4cm，
∵將△AEF沿EF折疊，其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，
∴AE=$\frac{1}{2}$A′A=2cm；
②當(dāng)A′C=BC=4$\sqrt{3}$cm時(shí)，如圖2，
∵AC=8cm，
∴AA′=8-4$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4-2$\sqrt{3}$）cm，
∵A″C=BC=4$\sqrt{3}$，
∴AA′=（8+4$\sqrt{3}$）cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4+2$\sqrt{3}$）cm；
③當(dāng)A′B=BC時(shí)，這種情況不存在，
∴若使△A′BC為等腰三角形，則AE的長為2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．
故答案為：2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．