Question

13．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC，DA平分∠BDE．
（1）求證：四邊形ABDE是菱形；
（2）如果AB=5，AD=6，求四邊形ABDE的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)BD垂直AC，AE⊥AC，說(shuō)明AE∥BD，通過(guò)∠ADE=∠BAD，說(shuō)明AB∥ED，從而說(shuō)明四邊形ABDE是平行四邊形，再有DA平分∠BDE，說(shuō)明AE=ED，所以平行四邊形ABDE是菱形．
（2）過(guò)點(diǎn)E作AD的高線(xiàn)，求出高長(zhǎng)，計(jì)算出△AED的面積，再計(jì)算出菱形ABDE的面積．

解答 （1）證明：∵BD垂直平分AC，
∴∠CFD=90°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠CFD=∠EAC
∴AE∥BD
∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥ED，
∴四邊形ABDE是平行四邊形
∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED
∴四邊形ABDE是菱形．
（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD，
∵AE=ED，
∴AG=GD=3，
又∵ED=AB=5，
∴在RT△EDG中，EG=4
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EG=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
∴S_{四邊形ABDE}=2S_△AED=2×12=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形、菱形的判定和三角形的面積．菱形的一條對(duì)角線(xiàn)把菱形分成兩個(gè)全等的三角形，兩條對(duì)角線(xiàn)把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，菱形的面積=$\frac{1}{2}$邊×該邊上的高=$\frac{1}{2}$×兩條對(duì)角線(xiàn)的積．