【題目】已知C為線段AB中點(diǎn),∠ACM=α.Q為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)P在射線CM上,連接PA,PQ,記BQ=kCP.
(1)若α=60°,k=1,
①如圖1,當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí),求∠PAC的度數(shù);
②直接寫出PA、PQ的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)α=45°時(shí).探究是否存在常數(shù)k,使得②中的結(jié)論仍成立?若存在,寫出k的值并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)①詳見解析;②PA=PQ.(2)存在,使得②中的結(jié)論成立.
【解析】
(1)①如圖1,作輔助線,構(gòu)建等邊三角形,證明△ADC為等邊三角形.根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠PAC=∠PAD=30°;
②根據(jù)①中得結(jié)論:∠PAC=∠PQC=30°,則PA=PQ;
(2)存在k=,如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△PAD≌△PQC(SAS).可得結(jié)論.
解:(1)①如圖1,在CM上取點(diǎn)D,使得CD=CA,連接AD,
∵∠ACM=60°,
∴△ADC為等邊三角形.
∴∠DAC=60°.
∵C為AB的中點(diǎn),Q為BC的中點(diǎn),
∴AC=BC=2BQ.
∵BQ=CP,
∴AC=BC=CD=2CP.
∴AP平分∠DAC.
∴∠PAC=∠PAD=30°.
②∵△ADC是等邊三角形,
∴∠ACP=60°,
∵PC=CQ,
∴∠PQC=∠CPQ=30°,
∴∠PAC=∠PQC=30°,
∴PA=PQ;
(2)存在,使得②中的結(jié)論成立.
證明:過點(diǎn)P作PC的垂線交AC于點(diǎn)D.
∵∠ACM=45°,
∴∠PDC=∠PCD=45°.
∴PC=PD,∠PDA=∠PCQ=135°.
∵,,
∴CD=BQ.
∵AC=BC,
∴AD=CQ.
∴△PAD≌△PQC(SAS).
∴PA=PQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明想測量濕地公園內(nèi)某池塘兩端A,B兩點(diǎn)間的距離.他沿著與直線AB平行的道路EF行走,當(dāng)行走到點(diǎn)C處,測得∠ACF=40°,再向前行走100米到點(diǎn)D處,測得∠BDF=52.44°,若直線AB與EF之間的距離為60米,求A,B兩點(diǎn)的距離(結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin52.44°≈0.79,cos52.44°≈0.61,tan52.44°≈1.30)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)桌面會(huì)議話筒示意圖,中間BC部分是一段可彎曲的軟管,在彎曲時(shí)可形成一段圓弧,設(shè)圓弧所在圓的圓心為O,線段AB,CD均與圓弧相切,點(diǎn)B,C分別為切點(diǎn),已知AB的長10 cm,CD的長為25.2 cm.
(1)如圖①,若話筒彎曲后CD與桌面AM平行,此時(shí)CD距離桌面14 cm,求弧BC的長度(結(jié)果保留π);
(2)如圖②,若話筒彎曲后弧BC所對(duì)的圓心角度數(shù)為60°,求話筒頂端D到桌面AM的距離(結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,其盤面分為4等份,在每一等份分別標(biāo)有對(duì)應(yīng)的數(shù)字2,3,4,5.小明打算自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次,現(xiàn)已經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)了8次,每一次停止后,小明將指針?biāo)笖?shù)字記錄如下:
次數(shù) | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 第7次 | 第8次 | 第9次 | 第10次 |
數(shù)字 | 3 | 5 | 2 | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
(1)求前8次的指針?biāo)笖?shù)字的平均數(shù).
(2)小明繼續(xù)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次,判斷是否可能發(fā)生“這10次的指針?biāo)笖?shù)字的平均數(shù)不小于3.3,且不大于3.5”的結(jié)果?若有可能,計(jì)算發(fā)生此結(jié)果的概率,并寫出計(jì)算過程;若不可能,說明理由.(指針指向盤面等分線時(shí)為無效轉(zhuǎn)次.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.假定每位顧客購買商品的可能性相同.
商品 顧客人數(shù) | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | √ | √ |
217 | × | √ | × | √ |
200 | √ | √ | √ | × |
300 | √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
98 | × | √ | × | × |
(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率為__________.
(2)如果顧客購買了甲,并且同時(shí)也在乙、丙、丁中進(jìn)行了選購,則購買__________(填乙、丙、丁)商品的可能性最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直線AB和某反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象,直接寫出當(dāng)x滿足什么范圍時(shí),直線AB在雙曲線的下方;
(3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說明理由;如果存在,求出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角中,以為直徑的交于點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交邊于點(diǎn),連結(jié).
(1)求證:.
(2)若,,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受地震的影響,某超市雞蛋供應(yīng)緊張,需每天從外地調(diào)運(yùn)雞蛋1200斤.超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋,已知甲養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出800斤,乙養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出900斤,從兩養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋到超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表:
到超市的路程(千米) | 運(yùn)費(fèi)(元/斤千米) | |
甲養(yǎng)殖場 | 200 | 0.012 |
乙養(yǎng)殖場 | 140 | 0.015 |
(1)若某天調(diào)運(yùn)雞蛋的總運(yùn)費(fèi)為2670元,則從甲、乙兩養(yǎng)殖場各調(diào)運(yùn)了多少斤雞蛋?
(2)設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋x斤,總運(yùn)費(fèi)為W元,試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式,怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最省?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尺規(guī)作圖要求: I、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線: II、 作線段的垂直平分線;III、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線: IV、 作角的平分線.如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:
則正確的配對(duì)是( )
A.①-IV,②-II,③-I,④-IIIB.①-IV, ②-I,③-II,④-I
C.①-II,②-IV,③-1II,④-ID.①-IV,②-I,③-II,④-III
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