(2006•孝感)如圖,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點M,與y軸的交點為A,過點A的直線y=x+c與x軸交于點N,與這個二次函數(shù)的圖象交于點B.
(1)求點A、B的坐標(用含b、c的式子表示);
(2)當S△BMN=4S△AMN時,求二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,設點P為x軸上的一個動點,那么是否存在這樣的點P,使得以P、A、M為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請寫出符合條件的所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)連接直線AB與拋物線的解析式即可得出A、B的坐標.
(2)根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比,可知:B點的縱坐標是A點縱坐標的4倍.已知拋物線與x軸只有一個交點,即△=0,可得出另外一個關于b,c的關系式,聯(lián)立兩個關系式即可求得b,c的值.也就能求出二次函數(shù)的解析式.
(3)本題要分情況進行討論:
①PM=AM,那么將M點的坐標向左或向右平移AM個單位即可得出P點的坐標.
②PA=AM,P點在AM的垂直平分線上,易知:M(2,0),A(0,2)因此三角形OMA是等腰直角三角形,O在AM的垂直平分線上,因此P,O重合,P點坐標即為原點坐標.
③PA=AM,P,M關于y軸對稱,據(jù)此可求出P點的坐標.
綜上所述可得出符合條件的P點的坐標.
解答:解:(1)
x1=0,x2=2-2b
當x1=0時,y1=c即A(0,c)
當x2=2-2b時,y2=2-2b+c
即B(2-2b,2-2b+c);

(2)2-2b-3c=0,△=0
得b2-2c=0,
聯(lián)立③,④得
(6+2)(36-2)=0
∴b1=-2,b2=
>0,而a=>0.
∴b<0.
∴b=-2
當b=-2時,代入④得c=2
∴所求二次函數(shù)的解析式為:y=x2-2x+2;

(3)存在符合條件的點P
Pl(2+2,0),P2(0,0),P3(2-2,0),P4(-2,0).
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的判定等知識點.
在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類討論,不要漏解.
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