Question

【題目】定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意直線MN及點(diǎn)P，取直線MN上一點(diǎn)Q，線段PQ與直線MN成30°角的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P到直線MN的30°角的距離，記作d（P→MN）．
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（4，0），B（3，3）是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)．根據(jù)上述定義，解答下列問(wèn)題：

（1）點(diǎn)A到直線OB的30°角的距離d（A→OB）=；
（2）已知點(diǎn)G到線段OB的30°角的距離d（G→OB）=2，且點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為 ．
（3）若點(diǎn)A到直線l：y=kx+1的30°角的距離d（A→l）=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）1+ 或1﹣
（3）

解：如圖3中，作AF⊥直線l：y=kx+1于F，直線l交x軸于H，交y軸于G，設(shè)H（m，0），

易知OG=1，AE=4，AF=2，OA=4，

由△HOG∽△HFA，

∴ = ，

∴ =

解得m= 或 （舍棄），

∴H（ ，0），代入y=kx+1，得到k= = = ，

當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)一、二、四象限如圖所示，同法可得k=﹣ =﹣ ．

【解析】解：（1）如圖1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一點(diǎn)E，使得∠AEF=30°，則d（A→OB）=AE．

∵B（3，3），
∴∠AOF=∠OAF=45°，
∵OA=4，
∴AF=OF=2 ，
在Rt△AEF中，AE=2AF=4 ．
所以答案是4 ．（2）如圖2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，

∴FG= EG=1，
設(shè)直線x=1與直線OB交于點(diǎn)H，與x軸交于M，
∵∠GHF=∠HGF=45°，OM=HM=1，GF=HF=1，
∴GH= ，
∴G（1，1+ ），
當(dāng)G在直線OB下方時(shí)，同法可得G′（1，1﹣ ），
所以答案是1+ 或1﹣ ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的兩點(diǎn)間的距離，需要了解同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開(kāi)平方，距離公式要牢記才能得出正確答案．