Question

在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關(guān)系呢？讓我們一起來(lái)探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究．請(qǐng)你結(jié)合圖形填空：

三三角形角形	角的已知量	a b	b+c a
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）如圖4，對(duì)于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，a，b，c，三邊有什么關(guān)系呢？請(qǐng)你作出猜測(cè)，并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明；
（3）請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論解決下列問(wèn)題：若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為5，6，求第三邊長(zhǎng)． （直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析：（1）圖2的三角形，顯然是等腰直角三角形，可設(shè)斜邊c為2，那么a=b=

2

，即可求得

a

b

、

b+c

a

的值，圖3的解法同上．
（2）由（1）的結(jié)論，可猜測(cè)a、b、c的等量關(guān)系應(yīng)該是

a

b

=

b+c

a

，可通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)證明；延長(zhǎng)CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可證得△CBD∽△CAB，由此得到所求的結(jié)論．
（3）將已知的邊長(zhǎng)代入（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）

三角形	角的已知量	a b	b+c a
圖2	∠A=2∠B=90°	2	2
圖3	∠A=2∠B=60°	3	3

；（2分）

（2）猜測(cè)a，b，c的關(guān)系是

a

b

=

b+c

a

延長(zhǎng)CA至D，使AD=AB（如圖4）；
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

即

a

b

=

b+c

a

．（4分）

（3）①當(dāng)a=5，b=6時(shí)，
由（2）得：

5

6

=

6+c

5

，解得c=-

11

6

（不合題意舍去）；
②當(dāng)a=6，b=5時(shí)，

6

5

=

5+c

6

，解得c=

11

5

；
③當(dāng)a=5，c=6時(shí)，

5

b

=

b+6

5

，解得b=

34

-3（負(fù)值舍去）；
④當(dāng)a=6，c=5時(shí)，

6

b

=

b+5

6

，解得b=4（負(fù)值舍去）；
⑤當(dāng)b=5，c=6時(shí)，

a

5

=

5+6

a

，解得a=

55

（負(fù)值舍去）；
⑥當(dāng)b=6，c=5時(shí)，

a

6

=

6+5

a

，解得a=

66

（負(fù)值舍去）．
綜上可知：第三邊的長(zhǎng)為

55

或

66

或

34

-3或4或

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意的是（3）題的情況較多，一定要分類討論，不要漏解．