Question

已知⊙O過點D（4，3），點H與點D關于y軸對稱，過H作⊙O的切線交y軸于點A（如圖1）．
（1）求⊙O半徑；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如圖2，設⊙O與y軸正半軸交點P，點E、F是線段OP上的動點（與P點不重合），連接并延長DE，DF交⊙O于點B，C，直線BC交y軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點D在圓上，根據點D的坐標利用勾股定理即可求得OD的長，即半徑；
（2）連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，根據同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根據已知可求得sin∠OHQ的值，則sin∠HAO的值也就求得了；
（3）設點D關于y軸的對稱點為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，根據角平分線的性質及垂徑定理可得到∠CGO=∠OHQ，則求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．
解答：解：（1）點D（4，3）在⊙O上，
∴OD²=4²+3²，
∴OD=5，
∴⊙O的半徑r=OD=5；（1分）

（2）如圖1，連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；

（3）連接DH交y軸于點Q，連接OH交BC于點T（如圖2）．
∵D與H關于y軸對稱，
∴DH⊥EF，
又∵△DEF為等腰三角形，
∴DH平分∠BDC，
∴∠BDH=∠HDC，
∴=，
∵HO為⊙O半徑，
∴OT⊥BC，
∴∠CGO=∠QHO，
∴當E、F兩點在OP上運動時，sin∠CGO的值不變．
點評：此題主要考查學生對切線性質，關于x軸、y軸、原點對稱點的坐標，解直角三角形及垂徑定理等知識點的綜合運用．