Question

如圖，AB⊥BC，射線CM⊥BC，且BC=4，AB=1，點P是線段BC （不與點B、C重合）上的動點，過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連結(jié)AD．
（1）如圖1，若BP=3，求△ABP的周長．
（2）如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測PB和PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作點B關(guān)于AP的對稱點B′，連結(jié)B′D，則B′D=

13

．（請直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理直接求出AP的值就可以求出結(jié)論；
（2）延長線段AP、DC交于點E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在證明△APB≌△EPC就可以得出結(jié)論；
（3）連接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，
∴AP²=AB²+BP²，
∴AP=

AB2+BP2

=

12+32

=

10

，
∴AP+AB+BP=

10

+1+3=

10

+4，
∴△APB的周長為

10

+4；

（2）PB=PC，
理由如下：
延長線段AP、DC交于點E
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，

∠ADP=∠EDP DP=DP ∠DPA=∠DPE

，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．       
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，

∠ABP=∠ECP ∠APB=∠EPC PA=PE

，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC；                          

（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，
∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°，
∵∠APB+∠DPC=90°．
∴∠APB=45°°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=45°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=PB=1．
∴PC=3
∵點B與點B′關(guān)于AP 對稱，
∴△ABP≌AB′P，
∴BP=PB′=1．AB=AB′．
∵∠B=90°，
∴四邊形ABPB′是正方形，
∴∠BPB′=90°，
∴∠B′PC=90°，
∵B′E⊥CD，
∴∠B′EC=90°．
∴四邊形B′PCE是矩形，
∴PB′=CE=1，B′E=PC=3
∴DE=2，
在Rt△B′DE中，由勾股定理，得
B′D=

13

．
故答案為：

13

．

點評：本題考查了勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，矩形的性質(zhì)的運用，解答時正確添加輔助線，靈活運用勾股定理是關(guān)鍵．