Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．

（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，0）．y=-x2-x+2．(2) △PAC的面積有最大值是4，此時(shí)P（-2，3）；（3）存在M1（0，2），M2（-3，2），M3（2，-3），M4（5，-18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M（-3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC； ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對應(yīng)關(guān)系．

試題解析：（1）①y=x+2當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，

∴C（0，2），A（-4，0），

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-對稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），

又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2．

（2）設(shè)P（m，-x2-x+2）．

過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=-m2-m+2-（m+2）

=-m2-2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，

∴當(dāng)m=-2時(shí)，△PAC的面積有最大值是4，

此時(shí)P（-2，3）．

（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下圖：

①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；

②根據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M（-3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC；

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)M（n，-n2-n+2），則N（n，0）

∴MN=n2+n-2，AN=n+4

當(dāng)時(shí)，MN=AN，即n2+n-2=（n+4）

整理得：n2+2n-8=0

解得：n1=-4（舍），n2=2

∴M（2，-3）；

當(dāng)時(shí)，MN=2AN，即n2+n-2=2（n+4），

整理得：n2-n-20=0

解得：n1=-4（舍），n2=5，

∴M（5，-18）．

綜上所述：存在M1（0，2），M2（-3，2），M3（2，-3），M4（5，-18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．