Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB＝AC＝BD，連接NF．

（1）判斷線段MN與線段BM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，說明理由；

（2）如果CD＝5，求NF的長．

Answer 1

【答案】（1）位置關(guān)系：MN⊥BM，數(shù)量關(guān)系：MN＝BM，理由見解析；（2）NF＝．

【解析】

（1）根據(jù)AB=AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，可證MN⊥BM，AM平分∠BAC，再根據(jù)BN平分∠ABE可得出∠MNB的度數(shù)，從而可得MN=BM；

（2）連接FM，可證FM∥AC，F(xiàn)M＝AC，從而可得，結(jié)合（1）可得，再根據(jù)等式的性質(zhì)通過倒角的關(guān)系可知∠NMF＝∠CBD，從而可證△MFN∽△BDC，從而即可求出答案.

（1）位置關(guān)系：MN⊥BM，數(shù)量關(guān)系：MN＝BM，

理由如下：∵AB＝AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，

即MN⊥BM，

∵BN平分∠ABE，

∴∠EBN＝∠ABN，

∵AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC，

∴∠MBN＝45°＝∠MNB，

∴MN＝BM；

（2）連接FM，

∵點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴FM∥AC，F(xiàn)M＝AC，

∵AC＝BD，

∴FM＝BD，即，

由（1）知△BMN是等腰直角三角形，

∴MN＝BM＝BC，即，

∴，

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB＝90°，

∵FM∥AC，

∴∠ACB＝∠FMB，

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB+∠CBD＝90°，

∴∠CBD+∠FMB＝90°，

∴∠NMF＝∠CBD，且，

∴△MFN∽△BDC，

∴，且CD＝5，

∴FN＝．