Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（A、B分別在原點(diǎn)的左右兩側(cè)），與y軸正半軸相交于C點(diǎn)，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面積為6，（如圖1）
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、A、B、C為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）如圖2，在直線BC上方的拋物線上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，△BCP面積最大？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可根據(jù)OA、OB、OC的比例關(guān)系，設(shè)出這三條線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ABC的面積求出OA、OB、OC的長(zhǎng)，也就得出了A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）可根據(jù)（1）得出的A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)M在x軸上方時(shí)，平行四邊形以AC或BC為對(duì)角線．那么M點(diǎn)的坐標(biāo)可用C的坐標(biāo)向左或向右平移AB個(gè)單位來得出．
②當(dāng)M在x軸下方時(shí)，平行四邊形以AB為對(duì)角線．可通過構(gòu)建全等三角形來求M點(diǎn)的坐標(biāo)，過M作MN⊥AB于N，
那么△MNB≌△COA，可據(jù)此來求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如果要△PBC的面積最大，那么P到AB的距離就要最大，因此P點(diǎn)必在與BC平行且只與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，設(shè)這條直線為PE（E在x軸上），可設(shè)出直線PE的函數(shù)解析式（其斜率與直線BC相同），然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出一個(gè)關(guān)于x的方程，由于這兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程的△=0，由此可求出直線PE的解析式．進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出△BCP的面積．
解答：解：
（1）依題意，設(shè)OA=k，OB=3k，OC=3k（k＞0）
∴A（-k，0）、B（2k，0），C（0，3k）
∴AB=4k，OC=3k
S_△OAP=AB．OC=4k．3k=6
∴k=1
∴點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵圖象過A（-1，0）、B（3，0）
∴y=a（x+1）（x-3）
∵圖象過C（0，3）
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
即∴y=-x²+2x+3；

（3）存在．
理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y）．
①當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CM∥AB，且CM=AB．
由（2）知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC=3．
∴x=±4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，3）或（-4，3）．
②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方．
過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90度．
∵四邊形AMBC是平行四邊形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=3．
∵OB=3，
∴ON=3-1=2．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2，-3）
綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為．M₁（4，3）或M₂（-4，3）或M₃（2，-3）；

（4）若存在點(diǎn)P使△BCP的面積最大，則點(diǎn)P在與直線BC平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線PE上，設(shè)PE與x軸相交于點(diǎn)E，
直線BC為y=-x+3
∴設(shè)直線PE為y=-x+b（如圖）．
∴．
∴-x²+2x+3=-x+b即
∴x²-3x+b-3=0
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)
∴△=（-3）²-4（b-3）=0
∴b=在直線PE：y=-x+中，
，
解得：，
∴P（，）
∵PE∥BC
∴S_△BCP=S_△BCE=BE×CO=××3=．
∴△BCP的最大面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．